Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 1 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác
Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương 1 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác sách Toán 11 Cánh diều. Với các ý rõ ràng, nội dung mạch lạc, đi thẳng vào vấn đề hi vọng người đọc sẽ nắm trọn kiến thức trong thời gian rất ngắn. Nội dung chính được tóm tắt ngắn gọn sẽ giúp thầy cô ôn tập củng cố kiến thức cho học sinh. Bộ tài liệu có file tải về. Mời thầy cô kéo xuống tham khảo
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC CỘNG
HĐ1
a) Với a=6 ta có sin a =sin 6 =12;
cos a =cos 6 =32
Với b=3 ta có sin b =sin 3 =32
cos b =cos 3 =12
Ta có sin a+b =sin 6+3 =sin 2 =1
sin a cos b +cos a sin b =12.12+32.32
=14+34=1
Do đó sin (a+b) =sin a cosb+cos a sin b (vì cùng bằng 1).
b) Ta có: sin (a-b) =sin a+-b
=sin a cos (-b) +cos a sin (-b)
=sin a cos b +cos a (-sin b )
=sin a cos b -cos a sin b
Công thức cộng
+ sin a+b =sin a sin b +cos a sin b
+ sin (a-b) =sin a cos b -cos a sin b
Ví dụ 1: (SGk – tr.16)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.16).
Luyện tập 1
Áp dụng công thức cộng ta có:
sin 12 =sin 3-4
=sin 3 cos 4 -cos 3 sin 4
=32.22-12.22=6-24
HĐ2
a) Ta có: cos a+b =sin 2-a+b
=sin 2-a-b
=sin 2-a .cos b -cos 2-a .sin b
=cos a .cos b -sin a .sin b
Vậy cos (a+b) =cos a cos b -sin a sin b .
b) Ta có: cos (a-b) =cos a+-b
=cos a cos (-b) -sin a sin (-b)
=cos a cos b -sin a (-sin b )
=cos a cos b +sin a sin b
Vậy cos (a-b) =cos a cos b +sin a sin b .
Công thức
+ cos (a+b) =cos a cos b -sin a sin b
+ cos (a-b) =cos a cos b +sin a sin b
Ví dụ 2: (SGK – tr.17).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.17).
Luyện tập 2
Áp dụng công thức cộng, ta có:
cos 15o =cos (45o -30o)
=cos 45o .cos 30o +sin 45o .sin 30o
=22.32+22.12=6+24
HĐ3
a) Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:
tan (a+b) =sin a+b cos a+b
=sin a cos b +cos a sin b cos a cos b -sin a sin b =sin a cos b +cos a sin b cos a cos b cos a cos b -sin a sin b cos a cos b
=sin a cos b cos a cos b +cos a sin b cos a cos b cos a cos b cos a cos b -sin a sin b cos a cos b =sin a cos a +sin b cos b 1-sin a cos a .sin b cos b
=tan a +tan b 1-tan a tan b
Vậy tan (a+b) =tan a +tan b 1-tan a tan b
b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:
tan (a-b) =tan [a+-b]
=tan a +tan -b 1-tan a tan -b =tan a -tan b 1+tan a tan b
Vậy
tan (a-b) =tan (a-b) =tan a -tan b 1+tan a tan b
Công thức
+ tan (a+b) =tan a +tan b 1-tan a tan b
+ tan (a-b) =tan a -tan b 1+tan a tan b
(Khi các biểu thức đều có nghĩa)
Ví dụ 3: (SGK – tr.17)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.17).
Luyện tập 3
Áp dụng công thức cộng, ta có:
tan 165o =tan 120o+45o
=tan 120o +tan 45o 1-tan 120o tan 45o =-3+11--3.1=1-31+3
=1-321+31-3=1-23+31-3=-2+3
2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
HĐ4
Ta có:
+ sin 2a =sin a+a
=sin a cos a +cos a sin a =2sin a cos a
+ cos 2a =cos a+a
=cos a cos a -sin a sin a =a -a
+ Khi các biểu thức đều có nghĩa thì:
tan 2a =tan a+a =tan a +tan a 1-tan a tan a
=2tan a 1-a
Công thức
+ sin 2a =2sin a cos a
+ cos 2a =a -a
+ tan 2a =2tan a 1-a
Nhận xét
+ cos 2a =a -a =2a -1
=1-2a
+ a =1+cos 2a 2; a =1-cos 2a 2 (công thức hạ bậc).
Ví dụ 4: (SGK – tr.18).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.18).
Luyện tập 4
Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:
tan a =2tan a2 1-a2 =2.-21--22=43
Ví dụ 5: (SGK – tr.18).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.18).
Luyện tập 5
Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:
+ 8 =1-cos 2.8 2=1-cos 4 2=1-222=2-22
Mà sin 8 >0 nên sin 8 =2-24=2-22
+ 8 =1+cos 2.8 2=1+cos 4 2=1+222=2+22
Mà cos 8 >0 nên cos 8 =2+22
3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
HĐ5.
Ta có:
+ cos a+b +cos a-b
=cos a cos b -sin a sin b +(cos a cos b +sin a sin b )
=cos a cos b -sin a sin b +cos a cos b +sin a sin b
=2cos a cos b
+ cos (a+b) -cos (a-b)
=cos a cos b -sin a sin b -(cos a cos b +sin a sin b )
=cos a cos b -sin a sin b -cos a cos b -sin a sin b
=-2sin a sin b
+ sin (a+b) +sin (a-b)
=sin a cos b +cos a sin b +(sin a cos b -cos a sin b )
=sin a cos b +cos a sin b +sin a cos b -cos a sin b
=2sin a cos b
Vậy cos (a+b) +cos (a-b) =2cos a cos b
cos (a+b) -cos a-b =-2sin a sin b
sin (a+b) +sin (a-b) =2sin a cos b
Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a cos b =12cos a+b +cos a-b
sin a sin b =-12[cos a+b -cos a-b ]
sin a cos b =12[sin a+b +sin a-b ]
Ví dụ 6: (SGK – tr.19).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.19).
Câu hỏi phụ
D=cos x cos (x+60o) cos (x-60o)
D=cos x .12cos 120o +cos 2x
=12cos x -12+cos 2x
= -14cos x +12cos 2x cos x
=-14cos x +14cos 3x +14cos x
Luyện tập 6
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:
B=cos 3a2 cos a2
=12cos 3a2+a2 +cos 3a2-a2
=12(cos 2a +cos a )
Mà cos 2a =2a -1=2.232-1=-19
Do đó: B=12cos 2a +cos a =12.-19+23
B=518.
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
HĐ6.
Ta có: a+b=u;a-b=v
=> a=u+v2;b=u-v2
Khi đó
+) cos u +cos v =cos a+b +cos a-b
=2cos a cos b =2cos u+v2 cos u-v2
+) cos u -cos v =cos a+b -cos (a-b)
=-2sin a sin b =-2sin u+v2 sin u-v2
+) sin u +sin v =sin (a+b) +sin (a-b)
=2sin a cos b =2sin u+v2 cos u-v2
+) sin u -sin v =sin a+b -sin a-b
=2sin b cos a =2cos a sin b
=2cos u+v2 sin u-v2
Công thức biến đổi tổng thành tích
+ cos u +cos v =2cos u+v2 cos u-v2
+ cos u -cos v =-2sin u+v2 sin u-v2
+ sin u +sin v =2sin u+v2 cos u-v2
+ sin u -sin v =2cos u+v2 sin u-v2
Ví dụ 7: (SGK – tr.19).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.19, 20).
Luyện tập 7
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có:
+ sin 79 +sin 9 =2sin 79+92 cos 79-92
=2sin 49 cos 3
+ cos 79 -cos 9 =-2sin 79+92 sin 79-92
=-2sin 49 sin 3
Khi đó: D=2sin 49 cos 3 -2sin 49 sin 3 =-cot 3 =-33
Ví dụ 8: (SGK – tr.20).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.20).
=> Giáo án dạy thêm toán 11 cánh diều bài 2: Các phép biến đổi lượng giác