Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 2 Bài 3: Cấp số nhân

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN

1. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1

Ta có số hạng thứ hai gấp số hạng đứng trước nó 1:13=3 lần.

Số hạng thứ ba gấp số hạng đứng trước nó 3:1=3 lần.

Số hạng thứ tư gấp số hạng đứng trước nó 9:3=3 lần.

Số hạng thứ năm gấp số hạng đứng trước nó 27:9=3 lần.

Số hạng thứ sáu gấp số hạng đứng trước nó 81:27=3 lần.

Số hạng thứ bảy gấp số hạng đứng trước nó 243:81=3 lần.

Vì vậy ta có kết luận kể từ số hạng thứ hai, ta thấy số hạng sau gấp 3 lần số hạng đứng trước nó.

Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, tức là:

un=un-1.q với n≥2

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q và un≠0 với mọi n≥1 thì với số tự nhiên n=2, ta có:

unun-1=q

Chú ý:

Khí q=1 thì cấp số nhân là một dãy không đổi.

Ví dụ 1: (SGK – tr.53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53).

Luyện tập 1

1. a) (un) là cấp số nhân có công bội: 

q=u2u1=-2-6=13 

1. b) Năm số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:

u1=-6;u2=-2;u3=-6.132=-23 

u4=-6.133=-29; 

u5=-6.134=-227. 

Ví dụ 2: (SGK – tr.53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54).

Luyện tập 2

Ta có: un+1=3.2n+1

=> un+1un=3.2n+13.2n=2 với n≥1

Vì vậy dãy (un) là cấp số nhân có số hạng đầu u1=6 và công bội q=2.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

HĐ2.

1. a) Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

u1;  u1.q;  u1.q2;  u1.q3;  u1.q4 

1. b) Dự đoán công thức tính un theo u1 và q là: un=u1.qn-1.

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un=u1.qn-1 với n≥2

Ví dụ 7: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn Giải (SGK – tr.54).

Ví dụ 4: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54, 55).

Luyện tập 3

Số tiền ban đầu T1 = 100 (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:

T2=100+100.6%=100.(1+6%) (Triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:

T3=100.1+6%+100.1+6%.6% 

=100.1+6%2 (Triệu đồng)

Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:

T4=100.1+6%2+100.1+6%2.6% 

=100.1+6%3 (Triệu đồng). 

Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu T1=100 và công bội q=1+6% có số hạng tổng quát là:

Tn+1=100.1+6%n (Triệu đồng)

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

HĐ3

1. a) Ta có: 

Sn.q=u1+u1.q+u1.q2+…+u1.qn-1.q 

=u1.q+u1.q2+u1.q3+…+u1.qn 

Sn-Sn.q=u1+u1.q+u1.q2+…+u1.qn-1-u1.q+u1.q2+u1.q3+…+u1.qn 

=u1-u1.qn 

1. b) Ta có:

Sn-Sn.q=u1-u1.qn 

⟺Sn1-q=u1(1-qn) 

⟺Sn=u11-qn1-q 

Vậy công thức tính Sn=u11-qn1-q.

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 và công bội q≠1.

Đặt Sn=u1+u2+u3+…+un. Khi đó:

Sn=u11-qn1-q

Chú ý

Nếu q=1 thì Sn=n.u1

Ví dụ 5: (SGK – tr.55).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.55).

Luyện tập 4

1. a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với u1=3 và công bội q=-2

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

S12=31--2121--2=-4095 

110. b) Ta có: 110;1100;11000;… là một cấp số nhân với u1=110 và công bội q=110.

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

S5=1101-11051-110=0,11111 

Ví dụ 6: (SGK – tr.55).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.55, 56).