Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 4 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

CHƯƠNG IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

BÀI 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1. Mặt phẳng

HĐ 1

Mặt sân vận động thường được làm phẳng.

Mặt phẳng (P) còn được viết tắt mp(P) hoặc (P).

Luyện tập 1

Các ví dụ trong thực tiễn nói về một phần của mặt phẳng là: Mặt bàn, mặt ghế, nền nhà, ...

2. Điểm thuộc mặt phẳng

HĐ 2

Nếu coi mặt sân Napoléon là một phần của mặt phẳng (P) thì đỉnh của kim tự tháp không thuộc mặt phẳng (P).

*) Điểm thuộc mặt phẳng

- Điểm A thuộc mặt phằng (P), kí hiệu A∈(P). Ta còn nói A nằm trong (hay nằm trên) mặt phẳng (P) hay mặt phẳng (P) đi qua điểm A. 

- Điểm A không thuộc mặt phẳng (P), A P.Ta còn nói A nằm ngoài (P).

3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian

4. a) Khái niệm

Hình được vẽ trong mặt phẳng để giúp ta hình dung được về một hình trong không gian gọi là hình biểu diễn của hình không gian đó.

1. b) Quy tắc vẽ hình biểu diễn của hình trong không gian

1) Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạnt hẳng.

2)  Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau)

3) Hình biểu diển giữ nguyên tính liên thuộc giữa điểm với đường thẳng hoặc với đoạn thẳng.

4) Những đường nhìn thấy được vẽ bằng nét liền, những đường không nhìn thấy được vẽ bằng nét đứt.

Ví dụ 1 (SGK -tr.87)

Luyện tập 2

2. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

HĐ 3

Dựa vào Hình 9, cần có 2 điểm đỡ để giữ cố định được xà ngang.

Tính chất 1

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

HĐ 4

Vì ba điểm chân kiềng sẽ cùng nằm trên mặt phẳng là nền đất.

Tính chất 2

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

Ví dụ:

Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được kí hiệu là mp(ABC) hoặc (ABC).

Tính chất 3

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Nhận xét: 

Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A, B của mặt phẳng (P) thì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) hoặc (P) chứa d, hoặc (P) đi qua d, thường được kí hiệu là d ⊂(P) hoặc Pd.

Ví dụ 2 (SGK -tr.88)

Tính chất 4

Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Ví dụ 3 (SGK -tr.88)

HĐ 5:

Giao giữa bức tường chứa bảng với nền nhà là một đường thẳng.

Tính chất 5

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai phẳng đó.

Chú ý: đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Kí hiệu d=(P)∩(Q).

Ví dụ 4 (SGK -tr.89)

Nhận xét

+ Có thể xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách tìm hai điểm chung của chúng.

+ Để tìm giao điểm của đường thẳng a và (P) (giả thiết tồn tại) ta làm như sau: Chọn một đường thẳng b, sao cho bP, tìm giao điểm ab=M. Khi đó M là giao điểm cần tìm.

Luyện tập 3

Ta có: AC cắt BD tại O nên O thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Mà S cũng thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). 

Do đó: SO là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Tính chất 6

Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

3. MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG

HĐ 6

1. a) 

Do nếu mặt phẳng đi qua hai điểm của d thì sẽ d sẽ thuộc mặt phẳng đó. 

Mà d đi qua B, C∈ABC

Nên mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C sẽ đi qua đường thẳng d.

1. b) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng d.

Định lí 1

Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Khi đó, qua điểm A và đường thẳng d có một và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu mp(A, d) hoặc (A, d).

HĐ 7

1. a) Mặt phẳng đi qua A, O nên đi qua đường thẳng a.

Mặt phẳng đi qua B, O nên đi qua đường thẳng b.

1. b) Có một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng a và b.

Định lí 2

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Khi đó, qua a và b có một và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu mp(a,b).

Nhận xét:

Mặt phẳng được xác định theo một trong ba cách sau:

+ Đi qua ba điểm không thẳng hàng.

+ Đi qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó.

+ Đi qua hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ 5 (SGK -tr.90+91)

Luyện tập 4

Giả sử có mặt phẳng (α) đi chứa hai đường thẳng AD và BC.

Khi đó A, B, C,D∈ α

Mà A, B, C∈ P

Suy ra mặt phẳng trùng mặt phẳng (P), nhưng điểm D không thuộc (P).

Suy ra mâu thuẫn.

Vậy AD và BC không xác định được một mặt phẳng

4. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN

1. Hình chóp

HĐ 8

1. a) Đỉnh S không nằm trong mặt phẳng (ABCD).

2. b) Các mặt bên của hộp quà lưu niệm có dạng hình tam giác cân.

Mặt đáy của hộp quà lưu niệm có dạng hình vuông.

Kết luận

Trong mặt phẳng (P), cho đa giác A1A2Ann≥3. Lấy một điểm S nằm ngoài (P). Nối S với các đỉnh A1,A2,…,An để được n tam giác SA1A2,SA2A3,…,SAnA1. Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2An được gọi là hình chóp và kí hiệu là S.A1A2An.

- Trong hình chóp S.A1A2An, 

+ Điểm S gọi là đỉnh;

+ Đa giác A1A2An gọi là mặt đáy, 

+ Các tam giác SA1A2,SA2A3,…,SAnA1 được gọi là các mặt bên; 

+ Các đoạn thẳng SA1,SA2,…,SAn được gọi là các cạnh bên; 

+ Các cạnh của mặt đáy được gọi là các cạnh đáy.

- Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác,… lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

Luyện tập 5

+) Trong mặt phẳng (ABCD): Gọi giao điểm của AB với NC là E.

Mà NC ⊂ (CMN)

Suy ra: E là giao điểm của AB và (CMN).

+) Trong mặt phẳng (SAB): Kéo dài EM cắt SB tại F. Mà EM ⊂ (CMN)

Suy ra F là giao điểm của SB và (CMN).

b)

+) Ta có: M ∈ SA mà SA ⊂ SAB nên M ∈ SAB;

M ∈ CM mà CM ⊂ (CMN) nên M ∈ CMN. Do đó M là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (CMN).

Ta lại có: AB ∩ CN = E; AB ⊂ SAB;CN ⊂ CMN. Do đó E là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (CMN).

Vì vậy EM là giao tuyến của (SAB) và (CMN).

+) Ta có: C ∈ SC mà SC ⊂ SBC;C ∈ CM mà CM ⊂ CMN. Do đó C là giao điểm của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN).

Ta lại có: SB ∩ EM = F;SB ⊂ SBC;EM ⊂ CMN. Do đó F là giao điểm của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN).

Vì vậy CF là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN).

2. Hình tứ diện

HĐ 9:

1. a) Khối rubik tam giác có 4 đỉnh. Các đỉnh không cùng nằm trong một mặt phẳng.

2. b) Khối rubik tam giác có 4 mặt. Mỗi mặt của khối rubik tam giác là hình tam giác.

Kết luận

Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC,ACD,ABD và BCD được gọi là hình tứ diện (hay tứ diện), kí hiệu là ABCD.

Trong hình tứ diện ABCD:

+ Các điểm A,B,C,D gọi là các đỉnh.

+ Các đoạn thẳng AB,BC, CD,DA,AC,BD : các cạnh của tứ diện, 

+ Hai cạnh không đi qua cùng một đỉnh là hai cạnh đối diện.

+ Các tam giác ABC,ACD,ABD,BCD : các mặt của tứ diện.

+ Đỉnh không thuộc một mặt của tứ diện là đỉnh đối diện với mặt đó.

- Hình tứ diện có các mặt là tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

- Mỗi hình chóp tam giác là một hình tứ diện. Ngược lại. nếu ta quy định rõ đỉnh và mặt đáy trong một hình tứ diện thì hình tứ diện đó trở thành hình chóp tam giác.

Ví dụ 7 (SGK -tr.93)

Nhận xét:

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta có thể chỉ ra ba điểm đó cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.

Luyện tập 6

a)

+) Trong mặt phẳng (ABC), gọi giao điểm của MP  với AC là E.

Mà MP ⊂ (MNP) nên E là giao điểm của AC với (MNP).

+) Trong mặt phẳng (ABD), gọi giao điểm của MN với BD là F.

Mà MN ⊂ (MNP) nên F là giao điểm của BD với (MNP).

1. b) 

Trong mặt phẳng (ACD), nối NE cắt CD tại I.

Khi đó  I∈NE nên I∈MNP và I∈CD nên I∈BCD.

Khi đó I thuộc giao tuyến của (MNP) và (BCD).

Mà PF là giao tuyến của (MNP) và (BCD).

Suy ra PF đi qua I.

Vậy các đường thẳng NE, PF và CD cùng đi qua một điểm.