BÀI 13. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC (21 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Cho biết ∆ABC  = ∆HIK . Hãy viết đẳng thức trên dưới một vài dạng khác.

Đáp án:

Viết đẳng thức ∆ABC = ∆HIK dưới một vài dạng khác: ∆ACB = ∆KHI, ∆CAB = ∆KHI, ...

Bài 2: Cho ∆MNP = ∆IHG. Hãy chỉ ra các góc, các cạnh tương ứng bằng nhau.

Đáp án:

∆MNP+ ∆IGH→{MN= IH, MP= IG; NP= HG M= I, N= H; P=G

Bài 3: Cho hai tam giác bằng nhau: ∆ABC và ∆HIK . Viết kí hiệu về sự bằng nhau của 2 tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: A = H  và B = I

Đáp án: 

Hai tam giác ∆ABC và ∆HIK bằng nhau và  : A = H  và B = I thì kí hiệu bằng nhau của hai tam giác là ∆ABC= ∆HIK

Bài 4: Cho ∆ABC = ∆DEF  với  AB = 7cm, BC = 5cm, DF = 6cm. Tính các cạnh còn lại của mỗi tam giác.

Đáp án:

Vì ∆ABC = ∆DEF nên  AB = DE, BC = EF, AC = DF (các cạnh tương ứng).

Mà AB = 7cm, BC = 5cm, DF = 6cm suy ra DE = 7cm, EF = 5cm, AC = 6cm.

Bài 5: Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?

Đáp án:

Xét ∆PQI và ∆PQK có:PQ là cạnh chung, PI=PK, QI=QK theo giả thiết

→ ∆PQI= ∆PQK c.c.c

2. THÔNG HIỂU (7 BÀI)

Bài 1: Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?

Đáp án:
Xét ∆PSR và ∆RQP có:PR là cạnh chung, PS=QR, SR=PQ theo giả thiết

∆PSR= ∆RQP c.c.c

Bài 2: Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thì vì sao?

Đáp án:

Xét ∆AMB và ∆ANB có:AB là cạnh chung, AM=AN, BM=BN theo giả thiết→ ∆AMB= ∆ANB c.c.c

Bài 3: Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?

Đáp án:

Xét ∆ABI và ∆ACI có:AI là cạnh chung, AB=AC, BI=CI theo giả thiết→ ∆ABI= ∆ACI c.c.c

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB = 6cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ  ∆ABD sao cho AD = 4cm, BD = 5cm. Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ ∆ABE sao cho BE=4cm, AE=5cm. Chứng minh ∆ABD= ∆BAE.

Đáp án:

Xét ∆ABD và ∆BAE có:AB là cạnh chung, AD=BE (=4cm(, BD=AE =5cm

→ ∆ABD= ∆BAE (c.c.c)

Bài 5: Cho đoạn thẳng AB = 6cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ  ∆ABD sao cho AD = 4cm, BD = 5cm. Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ ∆ABE sao cho BE=4cm, AE=5cm. Chứng minh ∆ADE= ∆BED.

Đáp án:

Xét ∆ADE và ∆BED có:DE là cạnh chung, AD=BE =4cm, BD=AE =5cm

→ ∆ADE=∆BED c.c.c

Bài 6: Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?

Đáp án: 

Xét ∆ORS và ∆OPQ có:OR=OP;OS=OQ ( cùng là bán kính của đường tròn (O)

RS = PQ (gt)

→∆ORS=∆OPQ c.c.c

Bài 7: Cho hình vẽ

1. a) Chứng minh rằng ∆MNP= ∆PQM
2. b) Biết MPN = 20°, tính số đo góc PMQ

Đáp án:

1. a) Xét ∆MNP và ∆PQM có:MN là cạnh chung, MN=PQ, NP=MQ theo giả thiết

→ ∆MNP= ∆∆PQM (c.c.c.)

1. b) Vì ∆MNP= ∆PQM chứng minh trên→PMQ= MPN hai góc tương ứng.

Mà MNP=20°→ PMQ=20°

3. VẬN DỤNG (6 BÀI)

Bài 1: Cho ∆ABC có AB=AC. Lấy M là trung điểm BC. Chứng minh rằng:

1. a) ∆AMB= ∆AMC.
2. b) BAM= CAM

Đáp án:

1. a) Xét ∆AMB và ∆AMC có:

AM là cạnh chung,

AB = AC (gt)

BM = CM (vì M là trung điểm BC)

→∆AMB=∆AMC c.c.c

1. b) Vì ∆AMB= ∆AMC cmt→ BAM= CAM (hai góc tương ứng)

Bài 2: Cho hình vẽ dưới đây. Chứng minh rằng: 

1. a) ∆ABK= ∆KHA.
2. b) AB // HK

Đáp án:

1. a) Xét ∆ABK và ∆KHA có:AK là cạnh chung, AB=HK, BK=AH theo giả thiết→∆ABK= ∆KHA c.c
2. b) Vì ∆ABK= ∆KHA cmt

→ BAK= HKA hai góc tương ứng.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong với AB và HK nên AB // HK.

Bài 3: Cho ΔABC có A=80° Vẽ cung tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn AC. Về cung tròn tâm C có bán kính bằng độ dài đoạn AB . Hai cung tròn này cắt nhau tại D nằm khác phía của A đối với BC.

1. a) Chứng minh ΔABC = ΔDCB . Từ đó suy ra số đo góc BDC.
2. b) Chứng minh AB // CD.

Đáp án:

1. a) Xét ΔABC và ΔDCB có: BC là cạnh chung. AB=CD, AC =BD (theo giả thiết)

⇒ ΔABC = ΔDCB (c.c.c) ⇒ BDC = CAB (hai góc tương ứng) ⇒BDC=80°.

1. b) Vì ΔABC=ΔDCB (chứng minh trên) ⇒ABC=DCB (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong so với AB và CD nên AB // CD.

Bài 4: Cho ΔMNP = ΔIJK . Biết 2 tia phân giác trong của góc M và góc N cắt nhau tại O, tạo MON=120° Tinh các góc của AK biết I =3J .

Đáp án:

Ta có: MON=180° –OMN-ONM (tổng ba góc trong ΔMON bằng 180°)

=180° - 12PMN – 12PNM tinh chất phân giác

= 180°- 12(PMN+PNM)

=180°-12(180°-MPN) (tổng ba góc trong MNP bằng 180°)

= 90+12 MPN

120°=90°+12 MPN MPN=(120°-90°).2=60°

Do MNP=IJK nên MPN=K (hai góc tương ứng) ⇒ K=60°.

Xét IJK có I + J =180 –K=180° – 60 =120° (tổng ba góc trong IJK bằng 180°).

Mà I =3J  nên J =120°:(1+3)=30 ⇒ I =3 J =3.30 =90°

Vậy AK có: I=90°,  J =30° , K =60.

Bài 5: Cho ΔABC = ΔMNP với M = 40°, 3B = 4C. Tính số đo các góc của ΔABC.

Đáp án:

Vì ΔABC = ΔMNP nên A=M, B=N, C=P (các góc tương ứng).

Mà M=40° nên A=40°.

Xét ΔABC có: A+B+C=180° (định lÍ tổng ba góc trong một tam giác)

B+C =180°-A=180°-40°=140°.

Mà 3B=4C.⇒ B4= C3 ⇒ B=140°:(4+3}4=80° và C=140°:(4+3)3=60°

Vậy A=40°, B=80°, C =60° .

Bài 6: Cho ΔHIK = ΔMNP, biết H =40°, P-N=30° .Tính số đo các góc còn lại của ΔMNP

Đáp án:

Vì ΔHIK = ΔMNP nên H = M (hai góc tương ứng). Mà H =40° nên M=40° .

Xét ΔMNP có: M+N+P=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

N+P=180°-M=180°-40°=140°.

Mặt khác P-N=30° ⇒P=(140+30):2=85° và N=(140°-30°):2=55°

Vậy M=40°, N=55°, P=85°.

4. VẬN DỤNG CAO (3 BÀI)

Bài 1: Cho ΔABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Gọi I là một điểm sao cho IA=IC, IB = IF . Chứng minh rằng:

1. a) ΔAIB = ΔCIE
2. b) So sánh IAB và ACI.

Đáp án:

Xét ΔAIB và ΔCIE có:IA=IC, IB = IE, AB=CE (theo giả thiết)

⇒ ΔAIB=ΔCIE (c.c.c) ⇒IAB=ICE (hai góc tương ứng).

Mà E thuộc AC nên ICE= ACI . Vậy IAB = ACI .

Bài 2: Cho ΔABC có AB=AC . Gọi M là trung điểm của BC.

1. a) Chứng minh rằng: AM là phân giác của BÁC
2. b) Chứng minh rằng: AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
3. c) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A lấy điểm E sao cho EB=EC.

Chứng minh rằng: A, E, M thẳng hàng.

Đáp án:

1. a) Xét ΔAMB và ΔAMC có:

AM là cạnh chung.

AB= AC (theo giả thiết),

BM=CM (vì M là trung điểm BC )

⇒ ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

⇒BAM =CAM (hai góc tương ứng)

⇒ AM là phân giác của góc BAC.

1. b) Vì ΔAMB=ΔAMC (chứng minh trên) ⇒ BMA=CMA (hai góc tương ứng).

Mà BMA+CMA=180° (kề bù) ⇒ BMA=CMA=90° ⇒ AM BC.

Mà M là trung điểm của BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

1. c) Xét ΔEMB và ΔEMC có:

EM là cạnh chung.

EB=EC (theo giả thiết).

BM=CM (vì D là trung điểm BC)

⇒ ΔEMB=ΔEMC (c.c.c) ⇒ BME=CME (hai góc tương ứng).

Mà BME+CME=180° (kể bù) ⇒ BME = CME = 90° ⇒ EM BC.

Vì qua điểm M chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với BC mà

EMBC, AMBC nên hai đường thẳng EM, AM trùng nhau hay A, E, M thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC. Giả sử O là một điểm nằm trong tam giác sao cho

OA=OB=OC . Chứng minh rằng: O là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh ΔABC

Đáp án:

Lấy M là trung điểm AB.

Xét ΔAMO và ΔBMO có:

MO là cạnh chung.

OA=OB (theo giả thiết),

MA=MB (Vì M là trung điểm AB)

⇒ ΔAMO= ΔBMO (c.c.c) ⇒ AMO = BMO (hai góc tương ứng).

Mà AMO + BMO = 180° (kề bù) ⇒ AMO = BMO = 90° ⇒ OM ⊥ AB 

Mà M là trung điểm của AB nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hay O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC và AC.

Vậy O là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh ΔABC.