BÀI 14. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC (19 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Vẽ ∆ABC biết độ dài hai cạnh, AB = a, BC = b và B=α

Đáp án:

Bước 1. Vẽ góc xBy=α.

Bước 2. Xác định vị trí hai đỉnh còn lại của tam giác.

- Trên tia Bx, lấy điểm A sao cho AB = a;
- Trên tia By, lấy điểm C sao cho BC = b.

Bước 3. Nối đoạn thẳng AC, ta được ∆ABC.

Bài 2: Vẽ tam giác ABC có A=600, AB = AC = 4 cm. Xác định độ dài cạnh BC.
Đáp án:
- Vẽ góc  xAy=600.
- Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 4cm.
- Trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = 4cm.
- Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.
Dùng thước đo độ dài, ta đo được BC = 4cm.

Bài 3: Vẽ tam giác ABC có A=900, AB = 3cm, AC = 4 cm.

Đáp án:

- Vẽ góc xAy=900.
- Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 3cm.
- Trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = 4cm.
- Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.

Bài 4: Vẽ tam giác MNP biết MN = 4cm, MP = 5cm, M=450.

Đáp án:

- Vẽ góc xMy=450.
- Trên tia Mx lấy điểm N sao cho MN = 4cm.
- Trên tia My lấy điểm P sao cho MP = 5cm.
- Vẽ đoạn thẳng PN ta được tam giác MNP.

Bài 5: Vẽ tam giác ABC có C=500, CA = CB = 3cm.

Đáp án:
- Vẽ góc xCy=500.
- Trên tia Cx lấy điểm A sao cho CA = 3cm.
- Trên tia Cy lấy điểm B sao cho BC = 3cm.
- Vẽ đoạn thẳng AB ta được tam giác ABC.

2. THÔNG HIỂU (6 BÀI)

Bài 1: Cho ∆ABC và ∆ABD như hình vẽ. Chứng minh ΔABC = ΔABD.

Đáp án:
Xét ∆ABC và ∆ABD có:
AC = AD (giả thiết),
A1=A2 (giả thiết),
AB là cạnh chung.
Suy ra ΔABC = ΔABD (c.g.c)

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, vẽ các đoạn thẳng AC, BD bằng nhau và vuông góc với AB. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ΔAMC = ΔBMD.

Đáp án:
Vì AC, BD vuông góc với AB nên A=B=900.
Lại có M là trung điểm của AB nên MA = MB.
Xét ∆AMC và ∆BMD có:
AC = BD (giả thiết)

CAM=DBM=900
AM = BM.
Suy ra ΔAMC = ΔBMD (c. g.c).

Bài 3: Cho ∆ABC và ∆A’B’C’ như hình vẽ. 

Khẳng định nào sau đây đúng

Đáp án: 

D

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có:
AB = B′C′ 

A=C' 

AC = A′C′.
Do đó ΔABC = Δ C′B′A′ (c.g.c).

Bài 4: Cho hình vẽ bên. Khẳng định nào đúng?

Đáp án: 

B
Quan sát hình vẽ, dễ chứng minh được:
ΔAOB = ΔCOD (c.g.c) (B đúng).
ΔAOD = ΔCOB (c.g.c) (A và C sai).

ΔADB = ΔDAC sai do BD ≠ AC (D sai).
Do đó chỉ có đáp án B đúng.

Bài 5: Cho hình vẽ bên. Khẳng định nào sai?

Đáp án: 

1. C
   ΔAHD = ΔAHE (đúng theo c.g.c).
   B. ΔAHB = ΔAHC (đúng theo c.g.c).
   C. ΔABD = ΔAEC (sai vì AB ≠ AE ).
   D. ΔADB = ΔAEC (đúng theo c.g.c).
   Ở đáp án D, ta cần chỉ ra ADB=ACE; AD = AE (điều này được suy ra từ ΔAHD = ΔAHE).
   
   

Bài 6: Cho ∆ABC và ∆MNP có AB = NM, AC = NP, A=N.
Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định sai

Đáp án: 

C

Xét ∆ABC và ∆MNP có AB = NM, AC = NP, A=N. Suy ra ΔABC = ΔNMP (c.g.c).
A. ΔABC = ΔNMP (đúng).
B. ΔBAC = ΔMNP (đúng).
C. ΔABC = ΔMNP (sai do đỉnh A, N không tương ứng).
D. ΔCAB = ΔPNM (đúng).

3. VẬN DỤNG (6 BÀI)

Bài 1: Cho góc nhọn xAy. Trên tia Ax lấy hai điểm B và E, trên tia Ay lấy hai điểm D và C sao cho AB = AD, AE = AC. Chứng minh rằng ΔABC = ΔADE.

Đáp án:

Xét ∆ABC và ∆ADE ta có:
AB = AD (giả thiết), 

A chung,
AC = AE (giả thiết).
Do đó ΔABC = ΔADE (c.g.c).

Bài 2: Cho ∆ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D.
Chứng minh rằng B=C và BD = DC.

Đáp án:

Xét ∆ADB và ∆ADC có:
AB = AC (giả thiết)
A1=A2 (do AD là tia phân giác)
AD là cạnh chung.
Do đó ΔADB = ΔADC (c.g.c).
Suy ra:
B=C (hai góc tương ứng);
BD = DC (hai cạnh tương ứng).

Bài 3: Cho ∆ABC. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm E sao cho IE = IB.
Chứng minh rằng:
a) AE = BC.

1. b) AE // BC.

Đáp án:

Xét ∆AIE và ∆CIB, ta có:
AI = CI (giả thiết);
AIE=CIB (hai góc đối đỉnh);
IE = IB (giả thiết).
Do đó ΔAIE = ΔCIB (c.g.c).
Suy ra AE = BC (hai cạnh tương ứng).
b) Theo câu a) ΔAIE = ΔCIB.
Suy ra EAI=BCI (hai góc tương ứng) hay BCA=CAE.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AE // BC .

Bài 4:  Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Gọi K là giao điểm của AB với tia phân giác của góc xOy. Chứng minh rằng:
a) AK = KB.
b) OK  ⊥ AB.

Đáp án:

1. a) Xét ∆AOK và ∆BOK, ta có:
   OA = OB (giả thiết),
   AOK=BOK (do AK là tia phân giác của góc O),

OK là cạnh chung.
Do đó ΔAOK = ΔBOK (c.g.c). Suy ra AK = BK (hai cạnh tương ứng).
b) Theo câu a) ta có ΔAOK = ΔBOK. Suy ra AKO=BKO (hai góc tương ứng).
Lại có AKO+BKO=180O ⇒ AKO=BKO=180O2=90O ⇒ OK ⊥ AB.

Bài 5: Cho ∆ABC có A=500. Vẽ đoạn thẳng AI vuông góc và bằng AB (I và C khác phía đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AK vuông góc và bằng AC (K và B khác phía đối với AC). Chứng minh rằng:
a) IC = BK.
b) IC ⊥ BC.

Đáp án:

1. a) Ta có IAC=IAB+BAC=90O+50O= 140O;

BAK=KAC+BAC=90O+50O= 140O.
Xét ∆AIC và ∆ABK, ta có
AI = AB (giả thiết),
AC = AK (giả thiết),

IAC=BAK (=140O).

Do đó ΔAIC = ΔABK (c.g.c).
Suy ra IC = BK (hai cạnh tương ứng).
b) Gọi D là giao điểm của IC và AB, E là giao điểm của IC và BK.
Vì ΔAIC = ΔABK = Δ nên AID=EBD (hai góc tương ứng).
Lại có ADI=EDB (hai góc đối đỉnh).
Mà ∆AID vuông tại A nên ⇒ AID+ADI=90O ⇒ EBD+EDB=90O .
Xét ∆BED có  BED=180O - (EBD+EDB)=180O - 90O=90O. 

Suy ra IC  ⊥ BK

Bài 6: Cho đoạn thẳng BC, điểm H nằm giữa B và C. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với BC, trên đường thẳng đó lấy các điểm A và K sao cho HA = HK. Kẻ các đoạn thẳng AB, BK, KC, CA.
a) Chứng minh rằng BA = BK.
b) Chứng minh rằng BC là tia phân giác của góc ABK.
c) Kể tên các góc bằng góc BAH.
d) ∆ABC bằng với tam giác nào? Vì sao?

Đáp án:

1. a) Xét ∆AHB và ∆KHB, ta có
   AH = KH (giả thiết),
   AHB=KHB= 90O (do AK ⊥ BC ),
   BH là cạnh chung.
   Do đó ΔAHB = ΔKHB (c.g.c).
   Suy ra BA = BK (hai cạnh tương ứng).
   b) Theo câu a) ta có ΔAHB = ΔKHB.
   Suy ra ABH=KBH (hai góc tương ứng)
   Suy ra BC là tia phân giác của ABK.
   c) Theo câu a ta có ΔAHB = ΔKHB suy ra BAH=BKH (hai góc tương ứng).
   d) ΔABC = ΔKBC (c.g.c) vì 

AB =BK (chứng minh a); 

ABC=KBC (do BC là tia phân giác của ABK);
BC chung

4. VẬN DỤNG CAO (2 BÀI)

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB, điểm O nằm giữa A và B. Kẻ tia Ox vuông góc với AB. Trên tia Ox lấy các điểm C và D sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
a) AD = CB.
b) OM = ON, OM vuông góc với ON.

Đáp án:

1. 
   a) Xét ∆AOD và ∆COB, ta có
   AO = CO (giả thiết),
   AOD=COB= 90O (vì OD ⊥ AB),
   OD = OB (giả thiết).
   Do đó ΔAOD = ΔCOB (c.g.c).
   Suy ra AD =BC (hai cạnh tương ứng).
   b) Theo câu a) ta có ΔAOD = ΔCOB.
   Suy ra:
   OBC=ODA (hai góc tương ứng);
   BC = AD (hai cạnh tương ứng).
   Mà M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC nên NB = MD .
   Xét ∆OBN và ∆ODM có
   OB = OD (giả thiết),
   OBN=ODM (chứng minh trên),
   NB = MD (chứng minh trên).
   Do đó ΔOBN = ΔODM (c.g.c).
   Suy ra
   ON = OM (hai cạnh tương ứng);
   NOB=MOD (hai góc tương ứng).
   Ta lại có  NOB+NOC=90O⇒ MOD+CON=90O.
   Vậy MO ⊥ ON.
   
   

Bài 2: Cho ∆ABC. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC.
a) Trên tia đối của tia ED lấy điểm I sao cho EI = ED.  Chứng minh rằng AI =  DC.
b) Chứng minh rằng  DE=12 BC , DE // BC
Đáp án:

1. 
   a) Xét ∆AEI và ∆CED ta có
   EA = EC (giả thiết);
   AEI=CED (hai góc đối đỉnh);
   EI = ED (giả thiết).
   Do đó ΔAEI = ΔCED (c.g.c).
   Suy ra AI = CD (hai cạnh tương ứng).
   b) Ta có ∆AEI và ∆CED (câu a)
   Suy ra IAE=DCE (hai góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AI // DC.
   Suy ra DAI=BDC (hai góc đồng vị).
   Xét Δ BDC và ∆DAI ta có 

BD = DA (giả thiết), 

DAI=BDC (chứng minh trên),

DC = AI (chứng minh trên).
Do đó ΔBDC = ΔDAI (c.g.c). Suy ra DI = BC (hai cạnh tương ứng).
Mà DE=12 DI ⇒  DE=12 BC.
Ta lại có DBC=ADI (hai góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC .