BÀI 15. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG (19 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (7 BÀI)

Bài 1: Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình dưới đây?

Đáp án:

Xét ∆ABC và ∆ADC có

D = B = 90°

DAC = BAC ( gt)

AC chung

Do đó ∆ABC = ∆ADC ( cạnh huyền - góc nhọn)

Bài 2: Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:

Đáp án:

Xét ∆ABC và ∆BAD có: 

ABC = BAD = 90°

AB chung

BAC = ABD (gt)

Do đó ∆ABC = ∆BAD (cạnh góc vuông – góc nhọn)

Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A. Từ K trên BC kẻ KH ⊥ AC. Trên tia đối của tia HK lấy I sao cho HI = HK. Chứng minh: AB // HK

Đáp án:

Ta có:

AB ⊥ AC (gt)

KH ⊥ AC (gt)

=> AB // HK (cùng vuông góc với AC)

Bài 4: Cho góc xOy. Tia Oz là tia phân giác góc xOy. Lấy điểm A thuộc tia Oz(A≠O). Kẻ AB vuông góc với Ox, AC vuông góc với Oy (B∈Ox, C∈Oy). Chứng minh ∆OAB = ∆OAC.

Đáp án:

Do Oz là tia phân giác xOy nên AOB = AOC

Suy ra ΔOAB = ΔOAC (cạnh huyền - góc nhọn).

Bài 5: Cho hình vẽ:

Biết ΔABD=ΔDCA. Chứng minh ΔABE=ΔDCF.

Đáp án:

ΔABE=ΔDCF (cạnh huyền - góc nhọn).

Bài 6: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’, biết AB = A’B’.  Để ΔABC= ΔA'B'C' (cạnh góc vuông – góc nhọn kề) thì cần thêm điều kiện gì?

Đáp án:
B = B'.

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H∈BC). Chứng minh rằng HB = HC.

Đáp án:

Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH

Có AB = AC (gt)

AH cạnh góc vuông chung

Vậy ΔABH = ΔACH (ch - cgv)

=> BH = HC (cạnh tương ứng )

Bài 2: Cho Δ∆ABC có hai đường cao BM, CN. Chứng minh nếu BM = CN thì  cân.

Đáp án:

Ta có: BM ⊥ AC; CN ⊥ AB

=> BNC = 90°; CMB = 90°

Xét ΔBNC và ΔCMB có:

BNC = CMB = 90°; CMB = 90° (cmt)

BC là cạnh chung

CN = BM  (gt)                              

=> ΔBNC = ΔCMB (ch - cgv)

=>B = C (2 góc tương ứng) => ΔABC cân tại A

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh rằng 

Đáp án:

Xét  có:

AB = AC (gt)

AH chung (gt)

Suy ra,  ( cạnh huyền – cạnh góc vuông )

Bài 4: Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Đáp án:

1. a) Hai tam giác DEG (vuông tại G) và tam giác DFG (vuông tại G) có:

DG là cạnh chung

EDG = FDG

Nên ΔDEG=ΔDFG (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

1. b) Hai tam giác HIK (vuông tại I) và tam giác KJH (vuông tại J) có:

HK là cạnh chung

HI = KJ

Nên ΔHIK=ΔKJH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Bài 5: Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Đáp án:

1. c) Hai tam giác MLO (vuông tại L) và tam giác ONM (vuông tại N) có:

MO là cạnh chung

LOM = NMO

Nên ΔMLO=ΔONM (cạnh huyền –góc nhọn).

1. d) Hai tam giác SRP (vuông tại R) và tam giác QPR (vuông tại P) có:

RP là cạnh chung

SR = QP

Nên ΔSRP=ΔQPR  (hai cạnh góc vuông).

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈∈BC). Chứng minh rằng:

1. a) HB = HC
2. b) AH là tia phân giác của góc BAC.

Đáp án:

1. a)  ΔABH=ΔACH (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒HB=HC

1. b) Từ câu a ta có: BAH = CAH

Từ đó suy ra đpcm.

3. VẬN DỤNG (3 BÀI)

Bài 1: Cho hình vẽ dưới đây, biết AB vuông góc với BC, AD vuông góc với CD và cạnh AB = AD. Chứng minh rằng:

1. a) ΔBAC=ΔDAC;
2. b) AC vuông góc với BD.

Đáp án:

1. a) Xét tam giác BAC (vuông tại B) và tam giác DAC (vuông tại D) có:

AC là cạnh chung

AB = AD (theo giả thiết)

⇒ΔBAC=ΔDAC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

1. b) Gọi H là giao điểm của AC và BD.

Vì ΔBAC=ΔDAC (theo câu a) ⇒ BAC = DAC  (hai góc tương ứng) hay BAH = DAH

Xét tam giác BAH và tam giác DAH có:

AB = AD (theo giả thiết)

BAH = DAH (chứng minh trên)

AH là cạnh chung

⇒ΔBAH=ΔDAH (c.g.c)

⇒AHB = AHD (hai góc tương ứng)

Mà AHB + AHD=180°hai góc kề bù)

Nên AHB = AHD=90°

⇒AC ⊥ BD (đpcm).

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. 

Gọi D là trung điểm của cạnh BC . Kẻ DE  AB , DF  AC . Chứng minh:

1. a) ∆DEB =∆DFC ;
2. b) ∆DEA =∆DFA .

Đáp án:

1. a) Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (gt)

AD là cạnh chung

DB = DC (D là trung điểm của cạnh BC)

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c-c-c)

Nên B = C và DAB = DAC

Xét ∆DEB vuông tại E và ∆DFC vuông tại F ta có:

AD chung

B = C (chứng minh trên)

Do đó ∆DEB = ∆DFC (cạnh huyền - góc nhọn)

1. b) Xét ∆DEA vuông tại E và ∆DFA vuông tại F ta có:

AD là cạnh chung

DAB = DAC (chứng minh trên)

Do đó ∆DEA = ∆DFA (cạnh huyền - góc nhọn)

Bài 3: Cho tam giác ABC  vuông tại A và AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC. Vẽ BM ,CN vuông góc với d. Chứng minh rằng: ∆BAM = ∆ACN.

Đáp án:

Vì ∆ABC vuông tại A nên BAC = BAM + CAM = 90°

Vì ∆ANC vuông tại N nên ACN + CAM = 90°

Do đó BAM = ACN

Xét ∆BAM vuông tại M và ∆ACN vuông tại N có:

BAM = ACN (cmt)

AB = AC (gt)

Nên ∆BAM = ∆ACN (cạnh huyền - góc nhọn)

4. VẬN DỤNG CAO (4 BÀI)

Bài 1: Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy điểm A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy sao cho OA = OB. Kẻ đường vuông góc với Ox tại A, đường vuông góc với Oy tại B, chúng cắt nhau tại C.

1. a) Chứng minh: OC là tia phân giác của góc xOy.
2. b) Gọi I là điểm bất kì thuộc OC. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ I đến Ox, Oy. Chứng minh: IM = IN.

Đáp án:

1. a) ΔOAC=ΔOBC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ AOC = BOC

nên OC là tia phân giác góc xOy.

1. b) ΔOMI=ΔONI cạnh huyền - góc nhọn)

⇒IM=IN

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại  A, trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE< BC2. Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với BC cắt AB tại M, đường thẳng kẻ từ E vuông góc với BC  cắt AC tại N. Chứng minh rằng:

1. a) DM = EN
2. b) EM = DN
3. c) Tam giác ADE cân.

Đáp án:

1. a) ΔMDB = ΔNEC  (cạnh góc vuông - góc nhọn) suy ra MD = NE
2. b) ΔMDE = ΔNED  (hai cạnh góc vuông) suy ra ME = ND
3. c) ΔABD=ΔACE(c.g.c) suy ra AD = AE. Vậy ΔADE cân tại A.

Bài 3: Cho góc nhọn xOy và K là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ KA vuông góc với Ox (A∈Ox), KB vuông góc với Oy ( B∈Oy)

1. a) Chứng minh: KA = KB.
2. b) Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?
3. c) Đường thẳng BK cắt Ox tại D, đường thẳng AK cắt Oy tại E.

Chứng minh: KD = KE.

Đáp án:

1. a) ΔOKA = ΔOKB (cạnh huyền – góc nhọn) nên KA = KB.
2. b) Từ câu a suy ra OA = OB  nên ΔOAB cân tại O.
3. c) ΔKAD=ΔKBE (cạnh góc vuông - góc nhọn kề) vì 

AKD = BKE và KA = KB.

Suy ra KD = KE.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BH ⊥ AC, CK ⊥ AB. Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh AI là tia phân giác của góc A.

Đáp án

Xét hai tam giác AHB và AKC có:

AB = AC (gt)

Nên ΔAHB = ΔAKC (cạnh huyền - cạnh góc nhọn)

Suy ra AH = AK (cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông AHI và AKI ta có:

AI là cạnh chung

AH = AK

Nên ΔAHI = ΔAKI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ A1 = A2  (góc tương ứng bằng nhau)

Do đó AI là tia phân giác góc A