BÀI 31: QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: So sánh các góc của ∆ABC biết rằng: AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm

Đáp án:

∆ABC có AB < BC < AC   C < A< B (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Bài 2: So sánh các góc của ∆DEF biết rằng: DE = 3, EF = 5cm, DF = 6cm

Đáp án:

∆DEF có DE < EF < DF   F < D<E (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Bài 3: So sánh các góc của ∆MNP biết rằng: MN = 22, NP = 3cm, MP =10 cm

Đáp án:

∆DEF có MN < NP < MP (vì 22<3<10 )  

 P < M<N (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Bài 4: Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau (sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện) 

Đáp án:

Xét ∆ABC cân tại A ⇒AB=AC⇒C=B (định lí 1)

Vậy trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Bài 5: So sánh các cạnh của ∆ABC, biết A=40°, B=50°

Đáp án:

∆ABC, ta có A+ B+C=180° (tổng 3 góc trong một tam giác)

⇒40+50+C=180 

C=90° 

C>B>A  

⇒AB>AC>BC (định lí 2)

Bài 6: So sánh các cạnh của ∆ABC vuông tại A, biết B=40°

Đáp án:

Xét ∆ABC vuông tại A

Ta có B+C=90°

⇒40+C=90 

C=50° 

A>C>B  

⇒BC>AB>AC (định lí 2)

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: So sánh các góc của ∆ABC biết rằng độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt tỉ lệ với 3, 5, 6 

Đáp án:

Xét ∆ABC, có độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt tỉ lệ với 3, 5, 6 

AB3=BC5=AC6 

⇒AB<BC<AC 

C < A<B

Bài 2: So sánh các góc của ∆ABC biết rằng độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt tỉ lệ nghịch với 2, 3, 4 

Đáp án:

Xét ∆ABC, có độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt tỉ lệ nghịch với 2, 3, 4 

⇒2.AB=3.BC=4.AC 

⇒AB>BC>AC 

ACB >BAC>ABC hay C >A>B (Định lí 1)

Bài 3: So sánh các cạnh của ∆ABC biết rằng số đo các góc A;B;C lần lượt tỉ lệ với 3, 4, 5

Đáp án:

Xét ∆ABC, số đo các góc A;B;C lần lượt tỉ lệ với 3, 4, 5

A3=B4=C5 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

A3=B4=C5=A+B+C3+4+5=18012=15 (tổng 3 góc trong một tam giác)

⇒ A3=15;B4=15;C5=15 

A=45°; B=60°; C=75° 

A<B<C 

⇒BC<AC<AB 

Bài 4: So sánh các cạnh của ∆ABC biết rằng, góc ngoài tại đỉnh A bằng 110°, B=50°

Đáp án:

Vì góc ngoài tại đỉnh A bằng 110° A=70° 

∆ABC, ta có A+ B+C=180° (tổng 3 góc trong một tam giác)

⇒70+50+C=180 

C=60° 

A>C>B  

⇒BC>AB>AC (định lí 2)

Bài 5: Cho ∆ABC có AB < AC. So sánh hai góc ngoài tại tỉnh B, C

Đáp án:

Ta có AB < AC C2 < B2 (định lí 1)

Lại có B1+B2=C1+C2=180° (Hai góc kề bù)

B1 < C1

Bài 6: So sánh các cạnh của ∆ABC biết rằng, A=50° và số đo B;C tỉ lệ với 2 và 3

Đáp án:

∆ABC, ta có A+ B+C=180° (tổng 3 góc trong một tam giác)

B+C=130° 

Lại có, số đo B;C tỉ lệ với 2 và 3

B2=C3=B+C2+3=1305=26 

B2=26;C3=26 

B=52°; C=78°

A< B<C 

⇒BC<AC<AB 

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ BD vuông góc với AC tại D, CE vuông góc với AB tại E. So sánh DBC và ECB

Đáp án:

∆ABC có AB < AC suy ra ACB < ABC (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Có BD⊥AC, CE⊥AB

EBC+ECB=DBC+DCB=90° 

Mà DCB < EBC

ECB<DBC 

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh MAB > MAC

Đáp án:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho AM = ME

Xét ∆ABM và ∆ECM

Có AM = ME (gt)

BM = MC (gt)

CME=AMB (2 góc đối đỉnh)

∆ABM = ∆ECM(c.g.c)

⇒AB=EC và CEM=BAM

Mà AB < AC ⇒EC<AC 

Xét ∆ACE có EC<AC

CAE<AEC hay CAM<CEM (quan hệ giũa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Mà CEM=BAM (cmt)

CAM<BAM (dpcm)

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
a) So sánh AB và AD
b) So sánh AD và CD

Đáp án:

1. a) Ta có BDA>B2 (góc ngoài của △ABD )

Mà B2=B1(gt)⇒BDA>B1.

Trong △ABD⇒AB>AD.

1. b) Vẽ DH⊥BC. Dễ thấy ΔBAD=ΔBHD (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒DH=AD.

Xét ΔDHC vuông tại H (gt) ⇒DH<DC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) mà DH=AD(cmt)⇒AD<DC.

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB<AC<BC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, tia phân giác của góc B cắt AC tại E. Hai tia phân giác AD và BE cắt nhau tại I.

1. a) So sánh IA và IB
2. b) So sánh BD và CD.

Đáp án:

1. a) Ta có AD là tia phân giác của góc A

A1=A2=A2, 

BE là tia phân giác của góc B

B1=B2=B2

Mà AC<BC(gt)⇒B<A

hay B2<A2

Vậy B1<A1⇒IA< IB.

1. b) Trên AC lấy điểm F sao cho AF=AB. 

Ta có △ADB=△ADF (c.g.c)

AFD=ABD (góc tương ứng) và DF=DB mà AFD+DFC=180 (kề bù), tương tự ABD+DBx=180DFC=DBx mà DBx>C (góc ngoài của △ABC ) DFC>C trong △DFC có DFC>C

⇒DF<DC mà DF=BD(cmt)⇒DB<CD.

Bài 6. Cho tam giác ABC có A=90. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD<AC. Nối B với D. Chứng minh rằng: BC>BD.

Đáp án:

Lấy E trên AC sao cho AE=AD

Vì AD<AC(gt)⇒AE<AC

E nằm giữa 2 điểm A và C.

Chứng minh được △BAD=ΔBAE (c.g.c)

BDE=BED (góc tương ứng)

Mà BED>C (góc ngoài của △BEC )

BDE>C

Xét △BCD có BDC>C⇒BC>BD.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia AM lấy điểm I sao cho M là trung điểm của AI.

1. a) Chứng minh AB⊥BI.
2. b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE=BA, trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=CA. Chứng minh AD<AE.

Đáp án:

1. a) Xét ΔBMI và ΔCMA có:

MI = MA (gt)

AMC=BMI (hai góc đối đỉnh)

MB = MC (gt)

⇒ ΔBMI=ΔCMA (c.g.c) C1=B1⇒AC//BI (cặp góc so le trong) 

mà AC⊥AB (gt)⇒AB⊥BI.

1. b) Xét △ABC có AB>AC(gt)⇒C1>B3 (1)

mà C1+C2=180 (2)

Tương tự B2+B3=180 (3)

Từ (1),(2),(3)⇒C2<B2

ΔABE cân tại B (BE=BA(gt))⇒E=A1=180-B22

Tương tự với ΔACD cân tại C(gt)⇒D=A2=180-C22

Mà C2<B2(cmt)⇒D>E. Xét △AED có D>E(cmt)⇒AD<AE.

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D và trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD . Chứng minh rằng: BC < DE

Đáp án:

Có DCE là góc ngoài của ΔACD DCE>ADC

Xét ΔBCD và ΔCDE có:

BD = CE (gt)

DCE>ADC (cmt)

⇒ DE>BC (Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau và hai góc tạo bởi các cạnh đó không bằng nhau thì góc nào lớn hơn thì có cạnh đối diện lớn hơn, ngược lại cạnh nào lớn hơn thì góc đối diện với cạnh đó lớn hơn)