BÀI 33: QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC, chứng minh AB – BC < AC < AB + BC

Đáp án:

Xét tam giác ABC, có AC < AB + BC (định lí 1)

Và AC > AB – BC (định lí 2)

⇒AB-BC<AC<AB+BC 

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB=5 cm,BC=8 cm. Hỏi độ dài cạnh AC có thể là 15 cm được không? Vì sao?

Đáp án:

Ta có AB=5 cm,BC=8 cm.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có AC<AB+BC hay AC<5+8=13( cm) Do đó độ dài cạnh AC không thể là 15 cm được.

Bài 3: Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:

1. a) 2 cm, 4 cm, 3cm. 
2. b) 4 cm, 6 cm, 2 cm.
3. c) 4cm, 2cm, 8 cm.

Trường hợp nào là độ dài ba cạnh của tam giác

Đáp án:

1. a) Ta có 2+4=6>3, bộ ba dài 2 cm,4 cm,3 cm thỏa mãn điều kiện nên đây có thể là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
2. b) Ta có 4+2=6, bộ ba dài 4 cm,6 cm,2 cm không thỏa mãn điều kiện nên đây không thể là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
3. c) Ta có 4+2=6<9 ba bộ dài 4 cm,2 cm,8 cm không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên không phải là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài 4: Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào dưới đây không thể là ba cạnh của một tam giác

a, 2; 5; 7

b, 4; 5; 7

c, 4; 5; 8

Đáp án:

a, Ta có: 2 + 5 = 7 (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên không lập thành một tam giác

b, Ta có: 4 + 5 = 9 > 7; 5 + 7 = 12 > 4; 4 + 7 =11 > 5 (thỏa mãn bất đẳng thức nên lập được thành một tam giác.

c, Ta có: 4 + 5 = 9 > 8; 5 + 8 = 13 > 4; 4 + 8 =12 > 5 (thỏa mãn bất đẳng thức nên lập được thành một tam giác.

Bài 5: Có bao nhiêu tam giác có độ dài 2 cạnh là 2cm và 7cm, độ dài cạnh còn lại là một số nguyên (cm)

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh còn lại là a (cm) (a > 0)

Ta có 2 + 7 > a > 7 – 2

⇒9>a>5 

⇒a∈{6, 7, 8} 

Vậy có 3 tam giác tương ứng là {2, 7, 6}; {2, 7, 7}; {2, 7, 8}

Bài 6: Cho tam giác ABC có AC = 1cm, BC = 4cm. Tính AB biết AB nguyên

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh AB là a (a > 0)

Ta có 4+1>a>4-1

⇒5>a>3 

 ⇒a=4

Vậy độ dài cạnh AB là 4 cm 

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có AC = 1cm, AB = 5cm. Tính chu vi tam giác ABC biết BC nguyên 

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh BC là a (a > 0)

Ta có 5+1>a>5-1

⇒6>a>4 

 ⇒a=5

Vậy chu vi tam giác ABC là: 1 + 5 + 5 = 11 (cm)

Bài 2: Cho tam giác ABC có AC = 1cm, AB = 6cm và độ dài cạnh BC nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì? 

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh BC là a (a > 0)

Ta có 6+1>a>6-1

⇒7>a>5 

 ⇒a=6 (cm)

độ dài cạnh BC là 6 cm

AB = BC

Tam giác ABC cân tại B

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 4 cm. Tính cạnh BC của tam giác đó biết chu vi của tam giác là 14 cm.

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A

TH1: hai cạnh bên bằng 4 cm

⇒AB=AC=4 cm

⇒BC=14-4-4=6 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 4 + 4 = 8 > BC = 6 (cm)

AB + BC = 4 + 6 = 10 > AC = 4 (cm)

AC + BC = 4 + 6 = 10 > AB = 4 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

TH1: BC = 4 cm

⇒AB=AC=5 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 4 (cm)

AB + BC = 5 + 4 = 9 > AC = 5 (cm)

AC + BC = 5 + 4 = 9 > AB = 5 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Vì vậy tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 4 cm, BC = 6cm

Hoặc AB = AC = 5 cm, BC = 4cm

Ta có tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 4 cm

⇒AB=AC=4cm 

Lại có chu vi tam giác ABC là 14 cm 

⇒AB+BC+AC=14 

⇒4+4+BC=14 

⇒BC=6 cm

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 5 cm. Tính cạnh BC biết chu vi tam giác là 18 cm

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A

TH1: hai cạnh bên bằng 5 cm

⇒AB=AC=5 cm

⇒BC=18-5-5=8 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 8 (cm)

AB + BC = 5 + 8 = 13 > AC = 5 (cm)

AC + BC = 5 + 8 = 13 > AB = 5 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

TH1: BC = 5 cm

⇒AB=AC=6,5 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 6,5 + 6,5 = 13 > BC = 5 (cm)

AB + BC = 6,5 + 5 = 11,5 > AC = 6,5 (cm)

AC + BC = 6,5 + 5 = 13 > AB = 6,5 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Vì vậy tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 5 cm, BC = 8cm

Hoặc AB = AC = 6,5 cm, BC = 5cm

Bài 5: Độ dài hai cạnh của một tam giác ABC bằng 5 cm và 2 cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó tính theo centimet là một số tự nhiên lẻ, tam giác ABC là tam giác gì?

Đáp án:

Gọi cạnh cần tìm là x( cm),x∈N.

Theo bất đẳng thức tam giác 5-2<x<5+2

3<x<7 và x là số tự nhiên nên x∈{4;5;6} 

x là số tự nhiên lẻ nên x=5(cm). 

Xét tam giác trên ta có hai cạnh là 5(cm). Do đó △ABC là tam giác cân.

Bài 6: Độ dài hai cạnh của một tam giác ABC bằng 4 cm và 2 cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó tính theo centimet là một số tự nhiên chẵn, tam giác ABC là tam giác gì?

Đáp án:

Gọi cạnh cần tìm là x( cm),x∈N.

Theo bất đẳng thức tam giác 4-2<x<4+2

2<x<6 và x là số tự nhiên nên x∈{3;4;5} 

x là số tự nhiên chẵn nên x=4(cm).  

Xét tam giác trên ta có hai cạnh là 4(cm). Do đó △ABC là tam giác cân.

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC,M là trung điểm cạnh AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD=MB. Chứng minh:
a) △MAB=△MCD;
b) BM<AB+BC2.

Đáp án:

1. a) Xét △MAB và △MCD có 

MA=MC (gt) 

AMB=CMD (2 góc đối đỉnh);

MB=MD(gt) 

△MAB=△MCD (c.g.c)

1. b) Xét △BCD ta có:

BD<CD+BC (bất đẳng thức tam giác)

mà BD=2BM và CD=ABcmt 

⇒2BM<AB+BC⇒BM<AB+BC2. 

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB>AC, tia phân giác góc A cắt đoạn thẳng BC ở D. Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E.

Chứng minh: AB-AC>EB-EC.

Đáp án:

Trên AB lấy điểm F sao cho AF=AC

Xét △AEF và△AEC có:

AF = AC (gt)

AE chung

A1=A2 (AD là phân giác góc A)

△AEF=△AEC (c.g.c)

⇒EF=EC (2 cạnh tương ứng)

Xét △BEF, ta có BF>BE-FE

Mà BF=AB-AF

⇒AB-AF>EB-FE. 

Mặt khác AF=AC;FE=EC

Do đó AB-AC>EB-EC (đpcm)

Bài 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC. So sánh 2AM với AB + AC.

Đáp án:

Trên tia đối tia MA lấy điểm N sao cho AM = MN

Có M là trung điểm cạnh BC (gt)

⇒MB=MC 

Xét △BMA và △CMN, ta có:

BM = CM (cmt)

AM = MN (gt)

AMB=NMC (2 góc đối đỉnh);

△BMA = △CMN (c.g.c)

⇒AB=CN (2 cạnh tương ứng) (1)

 Xét △CAN, ta có AN < AB + CA (2)

Từ (1) và (2) AN<AB+AC

Lại có AN = 2AM (gt)

2AM<AB+AC 

Bài 4: Cho △ABC có AB < AC và AD là tia phân giác của góc A (D ∈BC). Gọi E là một điểm bất kì thuộc cạnh AD (E khác A). Chứng minh AC – AB > EC - EB

Đáp án:

Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho B = AF

Xét △ABE và △AFE có 

AB = AF

BAE=FAE 

AE chung

△ABE = △AFE (c.g.c)

⇒BE=EF 

 Xét △EFC có FC > EC – EB (1)

Mà FC = AC – AF mà AF = AB FC = AC – AB (2)

Từ (1) và (2) FC = AC – AB > EC - EB

Bài 5: Cho △ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Chứng minh rằng BC – BA > DC – DA. 

Đáp án:

Xét △ADB và △HDB, có

BD là cạnh huyền chung

B1=B2 (vì BD là phân giác góc B)

△ADB = △HDB (ch -gn)

BA = BH; DA = DH (2 cạnh tương ứng)

Xét △DHC vuông tại H có CD > DH và HC > DC – DH (bất đẳng thức tam giác)

⇒ BC - BH = HC > DC - DH

Mà DH = DA, BH = BA (cmt)

BC - BA > DC - DA

Bài 6. Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Từ điểm M trong góc xOz, vẽ MH vuông góc với Ox (H ∈Ox), MK ⊥ Oy (K ∈Oy). Chứng minh rằng MH < MK.

Đáp án:

Gọi A là giao điểm của MK và Oz

Vẽ AB Ox (B ∈Ox). Nối B với M

Xét △KOA vuông tại K và △BOA vuông tại B, ta có:

OA chung

KOA=BOA (Oz là phân giác xOy)

△KOA = △BOA (ch - gn)

⇒AK=AB (2 cạnh tương ứng)

Xét △ABM có BM < AB + AM (bất đẳng thức trong tam giác)

⇒BM<AK+AM hay BM<MK

Mà MH < BM

⇒MH<MK 

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm A và B (hình vẽ). Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về khu dân cư sao cho độ dài đường dây là ngắn nhất.

Đáp án:

Gọi d là bờ sông phía B (khu dân cư) nối AB cắt d tại C

Ta chứng minh CA+CB là nhỏ nhất

Thật vậy: Giả sử DC và Dd

Xét △ABD theo bất đẳng thức tam giác

Ta có DA+DB>AB=CA+CB

Do đó C là điểm cần tìm.

Điểm C nằm trên đường thẳng với A và B. C là giao của AB và d.

Bài 2: Ba thành phố A,B,C là ba dỉnh của một tam giác; biết rằng: AC=30 km,AB=90 km

1. a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60 km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao? 
2. b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120 km?

Đáp án:

1. a) Trong △ABC ta có BC>|AB-AC| hay BC>|90-30|⇒BC>60 vậy trạm phát tại C có bán kính hoạt động nhỏ hơn 60 km thì thành phố B không nhận được tín hiệu.
2. b) Tương tự: Trạm phát tại C có bán kính hoạt động bằng 120 km thì thành phố B nhận được tín hiệu.