BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 3

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1. y = 4- 1;
2. y = 
3. y = 2 + 

Đáp án:

1. Tập xác định của hàm số D = R
2. Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi + 1 ≠ 0 ⇔ ≠ -1 (luôn đúng ∀ x ∈R)

Vậy tập xác định của hàm số là D = R

1. Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi x ≠ 0

Vậy tập xác định của hàm số là D = R\ {0}

Bài 2. Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau đây là một hàm số bậc hai:

1. y = (1 - 3m)+ 3
2. y = (4m - 1)
3. y = 2(+ 1) + 11 - m 

Đáp án:

1. a) y = (1 - 3m)+ 3

Để hàm số trên là hàm số bậc hai  1 - 3m  0  m   

Vậy m   

1. b) y = (4m - 1)= (4m - 1)(- 14x + 49) = (4m - 1) - (56m - 14)x + 49(m - 1)

Để hàm số trên là hàm số bậc hai  4m - 1  0  m   

1. c) y = 2(+ 1) + 11 - m = 2+ 13 - m

Để hàm số trên là hàm số bậc hai  2  0 (luôn đúng)

Vậy hàm số trên là hàm số bậc hai  m .

Bài 3. Vẽ đồ thị các hàm số sau

1. y =- 4x + 3
2. y = - - 4x + 5
3. y = - 4x + 5
4. y = - - 2x – 1

Đáp án:

1. a) y = - 4x + 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) =  - 4x + 3 là một parabol (P):

• Có đỉnh S(2; -1)
• Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
• Bề lõm quay lên trên vì a = 1 > 0;
• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).
• Phương trình - 4x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt  = 1 và  = 3 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (1; 0) và (3; 0)

Ta được đồ thị như sau:

1. b) y = - - 4x + 5

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = -  - 4x + 5 là một parabol (P):

• Có đỉnh S(-2; 9)
• Có trục đối xứng là đường thẳng x = -2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
• Bề lõm quay xuống dưới vì a = -1 < 0;
• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).
• Phương trình -- 4x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt  = 1 và  = -5 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (1; 0) và (-5; 0)

Ta được đồ thị như sau:

1. c) y = - 4x + 5

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) =   - 4x + 5 là một parabol (P):

• Có đỉnh S(2; 1)
• Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
• Bề lõm quay lên trên vì a = 1 > 0;
• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).

Ta được đồ thị như sau:

1. d) y = - - 2x - 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = -  - 2x -1 là một parabol (P):

• Có đỉnh S(-1; 0)
• Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
• Bề lõm quay xuống dưới vì a = -1 < 0;
• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).
• Phương trình -- 2x - 1 = 0 có nghiệm là x = - 1 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (-1; 0) 

Ta được đồ thị như sau:

Bài 4. Một vận động viên chạy xe đạp trong 1 giờ 30 phút đầu với vận tốc trung bình là 42 km/h. Sau đó người này nghỉ tại chỗ 15 phút và tiếp tục đạp xe 2 giờ liền với vận tốc 30 km/h.

1. Hãy biểu thị quãng đường s (tính bằng kilomet) mà người này đi được sau t phút bằng một hàm số.
2. Vẽ đồ thị hàm số s theo t.

Đáp án:

1. Ta có: = 1 giờ 30 phút = 90 phút; = 42km/h = 0,7 km/phút

                = 15 phút;   = 0

                = 2 giờ = 120 phút;   = 30km/h = 0,5 km/phút

Hàm số biểu thị quãng đường s (tính bằng kilomet) mà người này đi được sau t phút là:

1. Đồ thị hàm số S(t):

Bài 5. Biết rằng hàm số y = 2+ mx + n giảm trên khoảng (-∞; 1), tăng trên khoảng (1; +∞) và có tập giá trị là [9; +∞). Xác định giá trị của m và n

Đáp án:

Đồ thị hàm số y = 2 + mx + n có tọa độ đỉnh S:  =  = ;  =  =  = 

Theo bài ra ta có bảng biến thiên sau:

Vậy m = -4, n = 11

Bài 6. Nhảy bungee là một trò chơi mạo hiểm. Trong trò chơi này, người chơi đứng ở vị trí trên cao, thắt dây an toàn và nhảy xuống. Sợi dây này có tính đàn hồi và được tính toán chiều dài để nó kéo người chơi lại khi gần chạm đất (hoặc mặt nước).

Chiếc cầu trong Hình 1 có bộ phận chống đỡ dạng parabol. Một người muốn thực hiện một cú nhảy bungee từ giữa cầu xuống với dây an toàn. Người này cần trang bị sợi dây an toàn bao nhiêu mét? Biết rằng chiều dài của sợi dây đó bằng một phần ba khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước.

Đáp án:

Gắn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

Ta có AA' = 48 + 117 = 165(m)   = -82,5

Theo bài ra ta có: | - | = 48   = -34,5

Gọi parabol (P) có dạng: y = a + bx + c 

Vì (P) đi qua điểm O(0; 0)  c = 0

Lại có O(0;0) là đỉnh của (P) nên  = 0  b = 0

 (P) có dạng: y = a

Ta có:   = a.   = a = 6806,25a

             = a.   = a = 1190,25a

mà  -  = 46,2  1190,25a - 6806,25a = 46,2   a = 

   -56.

 Vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước  1 + 56 + 43 = 100 (m)

Vậy chiều dài sợi dây là: . 100 =   33,3 (m). 

Bài 7. Giả sử một máy bay cứu trợ đang bay theo phương ngang và bắt đầu thả hàng từ độ cao 80m, lúc đố máy bay đang bay với vận tốc 50m/s. Để thùng hàng cứu trợ rơi đúng vị trí được chọn, máy bay cần bắt đầu thả hàng từ vị trí nào? Biết rằng nếu chọn gốc tọa độ là hình chiếu trên mặt đất của vị trí hàng cứu trợ bắt đầu được thả, thì tọa độ của hàng cứu trợ được cho bởi hệ sau:

Trong đó,  là vận tốc ban đầu, h là độ cao tính từ khi hàng rời máy bay.

Lưu ý: Chuyển động này được xem là chuyển động ném ngang.

Đáp án:

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

Thùng hàng rơi đến mặt đất thì y = 0   80 - . 9,8.  = 0  t = 4,04(s) (loại t = -4,04)

 x = 50. 4,04 = 202 (m)

Vậy máy bay cần thả hàng ở vị trí cách vị trí được chọn là 202 m.