BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ -

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn α, lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho  = α. Giả sử điểm M có tọa độ (). Trong tam giác vuông OHM, áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:

sinα = ; cosα = ; tanα =  ; cotα =  

Đáp án:

Ta có: Tam giác vuông OHM vuông tại H và  =

Do đó: sin = ; cos =

mà MH = y₀; OH = x₀; OM = 1

 sin =  = y₀; cos =  = x₀

 tan =  = ; cot = = 

Bài 2: Tìm giá trị lượng giác góc 135

Đáp án:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho  = 135, H là hình chiếu vuông góc của M trên Oy.

Ta có:  = 135 - 90 = 45.

Tam giác OMH vuông cân tại H nên OH = MH =  =  = .

 Tọa độ điểm M là

Vậy theo định nghĩa ta có:

sin135 = ; cos135 = ;

tan135 = -1; cot135 = -1

2. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU

Bài 1: Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc  và .

Đáp án:

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ N xuống Ox.

Ta có:  =  =  =  =  (do NM // Ox)

mà  +  = 180 

  +  = 180

Bài 2: Tính các giá trị lượng giác: sin120; cos150, cot135

Đáp án:

sin120 = sin(180 - 60) = sin60 =

cos150 = -cos(180- 30) = -cos30 = -

cot135 = -cot(180 - 45) = - cot45 = -1.

Bài 3: Cho biết sinα = , tìm góc α (0≤ α ≤180) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị).

Đáp án:

Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho:  = .

Do sin =  nên tung độ của M bằng . Vậy ta xác định được hai điểm N và M trên nửa đường tròn đơn vị, thỏa mãn sin = sin = .

Đặt  =    = 180 -

Xét tam giác OHM vuông tại H ta có:

  = 180 - 30 = 150.

Vậy  = 30 hoặc  = 150

3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

Bài 1: Tính:

A = sin150 + tan135 + cot45

B = 2cos30 - 3tan150 + cot135

Đáp án:

A = sin150 + tan135 + cot45

    =  + (-1) + 1 = 

B = 2cos30 - 3tan150 + cot135

   = 2.  - 3.  + (-1) = 2 - 1

Bài 2: Tìm góc α (0≤ α ≤180) trong mỗi trường hợp sau:

1. sinα = 
2. cosα = 
3. tanα = -1
4. cotα = -

Đáp án:

1. a) = 60hoặc  = 120
2. b) = 135
3. c) = 135
4. d) = 150

4. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

Bài 1:

1. Tính cos8043'51'' ; tan4712'25'' ; cot 999'19'' 
2. Tìm α (0≤ α ≤ 180), biết cosα = -0.723

Đáp án:

1. a) cos8043'51'' ≈ 0,161

    tan4712'25'' ≈ 1,08

    cot999'19'' ≈ -0,161

1. b) α ≈ 13618'10''

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Cho biết sin30 = ; sin60 = ; tan45 = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30 + sin150 + tan135

Đáp án:

E = 2cos30 + sin150 + tan135

   = 2sin60 + sin30 - tan45

   =

Bài 2. Chứng minh rằng:

1. a)
2. b)

Đáp án:

1. a)
2. b) suy ra

Bài 3. Tìm góc α (0≤α≤180) trong mỗi trường hợp sau:

1. cosα = -
2. sinα = 0;
3. tanα = 1;
4. cotα không xác định.

Đáp án:

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
a) ;
b)  hoặc ;
c)
d)  không xác định khi  hoặc .

Bài 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

1. sinA = sin(B + C)
2. cosA = cos(B + C)

Đáp án:

Hướng dẫn: Sử dụng các tính chất:

Ta có:  nên
a)
b)

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi góc α (0≤ α ≤180), ta đều có:

1. α +α = 1
2. tanα. cotα = 1 (0<α<180, α ≠ 90)
3. 1 + α  = 
4. 1 + α  = (0<α<180, α ≠ 90)

Đáp án:

1. a)

Sử dụng nửa đường tròn đơn vị, ta có:

1. b)
2. c)
3. d)

Bài 6. Cho góc α với cosα = −  . Tính gái trị của biểu thức A = 2α + 5α

Đáp án:

Vì  nên

Vậy

Bài 7. Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

1. Tính ;;;
2. Tìm α (0≤α≤180) trong các trường hợp sau:
3. sinα = 0,862;        ii. cosα = - 0,567;            iii. tanα = 0,334 

Đáp án:

1. a)

;

.

1. b)
2. i) hoặc ;
3. ii) ,

iii)