BÀI 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Bạn Nam để dành được 700 nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ các bạn học sinh ở vùng bị bão lụt, Nam đã ủng hộ x tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng, y tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng từ tiền để dành của mình.

1. Biểu diễn tổng số tiền đã ủng hộ theo x và y.
2. Giải thích tại sao ta lại có bất đẳng thức 20x + 50y ≤ 700.

Đáp án:

1. 20x + 50y.
2. 20x + 50y là tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ. Vì Nam để dành được 700 nghìn đồng nên tổng số tiền Nam ủng hộ chỉ có thể nhỏ hơn hoặc bằng 700 nghìn.

Bài 2: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

1. 2x - 3y + 1 ≤ 0;
2. x - 3y + 1 ≥ 0;
3. y - 5 > 0;
4. x - + 1 > 0

Đáp án:

• Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là a, b, c
• Bất phương trình d không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa 

2. NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Trường hợp nào sau đây thỏa mãn tình huống được nêu trong Khám phá 1?

• Trường hợp 1: Nam ủng hộ 2 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng và 3 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.
• Trường hợp 2: Nam ủng hộ 15 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng và 10 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.

Đáp án:

Trường hợp 1 thỏa mãn tình huống nêu trong Khám phá 1.

Vì: 2. 20 + 3. 50 = 190 < 700

Bài 2: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 4x - 7y - 28 ≥ 0?

1. (9; 1)                    b. (2; 6)                    c. (0; - 4)

Đáp án:

4. Vì 4. 9 - 7. 1 - 28 = 1 > 0 nên (9; 1) là nghiệm của bất phương trình.
5. Vì 4. 2 + 7. 6 - 28 = 22 > 0 nên (2; 6) là nghiệm của bất phương trình.
6. Vì 4. 0 - 7. (-4) - 28 0 nên (0; - 4) là nghiệm của bất phương trình.

Bài 3: Cho biết mỗi 100g thịt bò chứa khoảng 26,1g protein, một quả trứng nặng 44g chứa khoảng 5,7g protein. Giả sử có một người mỗi ngày cần không quá 60g protein. Gọi số gam thịt bò và số quả trứng mà người đó ăn trong một ngày lần lượt là x và y.

1. Lập bất phương trình theo x, y diễn tả giới hạn về lượng protein trong khẩu phần ăn hàng ngày của người đó.
2. Dùng bất phương trình ở câu a) để trả lời hai câu hỏi sau:

• Nếu người đó ăn 150g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44g) trong một ngày thì có phù hợp không?
• Nếu người đó ăn 200g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44g) trong một ngày thì có phù hợp không?

Đáp án:

1. 26,1x + 5,7y ≤ 60

• Vì 26,1. 1,5 + 5,7. 2 = 50,55 < 60 nên khẩu phần ăn 150 g thịt bò và 2 quả trứng là phù hợp.
• Vì 26,1. 2 + 5.7. 2 = 63,6 > 60 nên khẩu phần 200 g thịt bò và 2 quả trứng là không phù hợp.

3. BIỀU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Cho bất phương trình 2x - y + 1 < 0.

1. Vẽ đường thẳng y = 2x + 1.
2. Các cặp số (-2; 0), (0; 0), (1; 1) có là nghiệm của bẩt phương trình đã cho không?

Đáp án:

a.

b.

• Có: 2. (-2) - 0 + 1 = -3 < 0 nên (-2; 0) là nghiệm của bất phương trình 2x - y + 1 < 0
• Có: 2. 0 - 0 + 1 = 1 > 0 nên (0; 0) không là nghiệm của bất phương trình 2x - y + 1 < 0
• Có: 2. 1 - 1 + 1 = 2 > 0 nên (1; 1) không là nghiệm của bất phương trình 2x - y + 1 < 0

Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau:

1. 2x + y - 2 ≤ 0;
2. x - y - 2 ≥ 0.

Đáp án:

1. Vẽ đường thẳng d: 2x + y - 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; 2) và B(1; 0).

Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O ∉ d và 2.0 +0 - 2 = -2 < 0. Do đó, miền nghiệm của bât phương trình 2x + y - 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ d, chứa gốc tọa độ O (miền không tô xanh trong hình).

1. Vẽ đường thẳng d': x - y - 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; -2) và B(2; 0).

Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy O ∉ d' và 0 - 0 - 2 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x - y - 2 ≥ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ d', không chứa gốc tọa độ O (miền không tô xanh trong hình).

Bài 3: Biểu diễn miền nghiệm của hai bất phương trình sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy:

1. y ≥ 2;
2. x ≤ 4.

Đáp án:

2. Vẽ đường thẳng f: y = 2. Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 2 là nửa mặt phẳng kể cả bờ f, không chứa gốc tọa độ O. 
3. Vẽ đường thẳng f': x = 4. Miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 4 là nửa mặt phẳng kể cả bờ f', chứa gốc tọa độ O.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x - 2y + 6 > 0

1. (0; 0) có phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho cho hay không?
2. Chỉ ra ba cặp số (x; y) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng Oxy.

Đáp án:

2. Có: 0 - 2. 0 + 6 = 6 > 0 nên (0; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
3. Ba cặp số (x; y) là nghiệm của bất phương trình đã cho là: (0; 1); (1; 1); (1; 2).
4. Vẽ đường thẳng d: x - 2y + 6 = 0 đi qua hai điểm A(-6; 0) và B(0; 3).

Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O ∉ d và 0 - 2. 0 + 6 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ d, chứa gốc tọa độ O (miền không tô xanh trong hình).

Bài 2. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

1. -x + y + 2 > 0;
2. y + 2 ≥ 0;
3. -x + 2 ≤ 0.

Đáp án:

1. Vẽ đường thẳng d: -x + y + 2 = 0 đi qua hai điểm A(2; 0) và B(0; -2).

Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy, O ∉ d và -0 + 0 + 2 = 2 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ d, chứa gốc tọa độ O (phần không tô màu).

1. Vẽ đường thẳng f: y + 2 = 0 đi qua điểm A(0; -2) và song song với Ox.

Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy, O ∉ f và 0 + 2 = 2 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ f, chứa gốc tọa độ O (phần không tô màu).

1. Vẽ đường thẳng t: -x + 2 = 0 đi qua điểm B(2; 0) và song song với Oy.

Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy, O ∉ t và -0 + 2 = 2 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ t, không chứa gốc tọa độ O (phần không tô màu).

Bài 3. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

1. -x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x);
2. 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3

Đáp án:

1. -x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x) <=> x + 2y -4 < 0

Vẽ đường thẳng d: x + 2y - 4 = 0 đi qua hai điểm A(4; 0) và B(0; 2).

Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy, O ∉ d và 0 + 2. 0 - 4 = -4 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ d, chứa gốc tọa độ O.

1. 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3 <=> -2x + 4y  - 8 < 0 <=> x - 2y + 4 > 0

Vẽ đường thẳng f: x - 2y + 4 = 0 đi qua hai điểm M(-4; 0) và N(0; 2).

Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy O ∉ f và 0 - 2. 0 + 4 = 4 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ f và chứa gốc tọa độ O.

Bài 4. Bạn Cúc muốn pha hai loại nước cam. Để pha một lít nước cam loại I cần 30g bột cam, còn một lít nước cam loại II cần 20g bột cam. Gọi x và y lần lượt là số lít nước cam loại I và II pha chế được. Biết rằng Cúc chỉ có thể không dùng quá 100g bột cam. Hãy lập các bất phương trình mô tả số lít nước cam loại I và II mà bạn Cúc có thể pha chế được và biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

Đáp án:

Các bất phương trình cần lập là: 30x + 20y ≤ 100; x ≥ 0; y ≥ 0.

Vẽ đường thẳng d: 30x + 20y - 100 = 0 đi qua hai điểm (; 0) và (0; 5).

Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy O ∉ d và 30. 0 + 20. 0 - 100 = -100 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ d và chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm của bất phương trình: x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải Oy, kể cả bờ Oy.

Miền nghiệm của bất phương trình: y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên Ox, kể cả bờ Ox. 

Bài 5. Miền không gạch chéo (không kể bờ d) trong mỗi hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?

Đáp án:

1. Ta thấy đường thẳng d đi qua hai điểm (-5; 0) và (0; 2) nên đường thẳng d có phương trình:

 + = 1 <=> -2x + 5y - 10 = 0

Xét gốc tọa độ O(0;0). Có: O ∉ d và -2. 0 + 5. 0 - 10 = -10 < 0. Vì miền nghiệm trên hình vẽ không kể bờ d và chứa gốc O nên miền không gạch chéo là miền nghiệm của bất phương trình: -2x + 5y - 10 < 0.

1. Ta thấy đường thẳng d đi qua hai điểm (3; 0) và (0; 2) nên đường thẳng d có phương trình:

+ = 1 <=> 2x + 3y - 6 = 0

Xét gốc tọa độ O(0; 0). Có O ∉ d và 2. 0 + 3. 0 - 6 = -6 < 0. Vì miền nghiệm trên hình vẽ không kể bờ d và không chứa gốc O nên miền không gạch chéo là miền nghiệm của bất phương trình: 2x + 3y - 6 > 0.