Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

BÀI 14.CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ

Bài 1: Một cổ động viên của câu lạc bộ Everton, Anh đã thống kê điểm số mà hai câu lạc bộ Leicester City và Everton đạt được trong năm mùa giải Ngoại hạng Anh gần đây, từ mùa giải 2014 - 2015 đến mùa giải 2018 - 2019 như sau:

Leicester City:     41      81         44         47          52.

Everton         :      47      47         61         49          54.

Cổ động viên đó cho rằng, Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City. Em có đồng ý với nhận định này không? Vì sao?

Đáp án:

Em đồng ý với nhận định này vì:

Leicester City có điểm lớn nhất là 81 và nhỏ nhất là 41 nên khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất là 40.

Everton có điểm lớn nhất là 61 và nhỏ nhất là 41 nên khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất là 20.

Khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất của Everton là ít hơn.  

Bài 2: Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:

163     159        172         167            165              168           170            161

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.

Đáp án:

Giá trị nhỏ nhất: 159.

Giá trị lớn nhất: 172.

Khoảng biến thiên: 172 – 159 = 13.

Bài 3: Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị ^oC) tại hai thành phố Hà Nội và Điện Biên được cho như sau:

Hà Nội:      23      25        28        28        32          33          35.

Điện Biên: 16      24        26        26        26           27          28.

1. Tính khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu và so sánh.
2. Em có nhận xét gì về sự ảnh hưởng của giá trị 16 đến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Điện Biên?
3. Tính các tứ phân vị và hiệu Q₃- Q₁cho mỗi mấu số liệu. Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu không?

Đáp án:

1. Hà Nội:

Khoảng biến thiên là: R₁ = 35 – 23 = 12

Điện biên:

Khoảng biến thiên là: R₂ = 28 – 16 = 12

1. Giá trị 16 làm khoảng biên thiên lớn hơn.

• Hà Nội:

- Sắp xếp theo thứ tự không giảm: 23; 25; 28; 32; 33; 35

- Tứ phân vị là: Q₂ = 28; Q₁ = 25; Q₃ = 33. Ta có: Q₃ – Q₁ = 33 – 25 = 8.

• Điện Biên:

- Sắp xếp theo thứ tự không giảm: 16; 24; 26; 26; 26; 27; 28.

- Tứ phân vị là: Q₁ = 24; Q₂ = 26; Q₃ = 27. Ta có: Q₃ – Q₁ = 27 – 24 = 3.

Có thể dùng số liệu này để đo độ phân tán của số liệu.

Bài 4: Mẫu số liệu sau đây cho biết số bài hát ở mỗi album trong bộ sưu tập của An:

12    7      10       9       12        9         10         11         10         14.

Hãy tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Đáp án:

Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

7; 9; 9; 10; 10; 10; 11; 12; 12; 14.

Tứ phân vị là: Q₂ = 10; Q₁ = 9; Q₃ = 12.

Ta có: Q₃ – Q₁ = 12 – 9 = 3

Vậy khoảng tứ phân vị là 3.

2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

Bài 1: Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất đến 0,001 giây để đo 7 lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm A (vA=0) đến điểm B. Kết quả đo như sau:

0,398         0,399        0,408         0,410       0,406       0,405          0,402.

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên?

Đáp án: 

Số trung bình của mẫu số liệu là:

Phương sai:

Vậy độ lệch chuẩn . Độ chính xác của phép đo cao vì độ lệch chuẩn và phương sai nhỏ.

3.PHÁT HIỆN SỐ LIỆU BẤT THƯỜNG HOẶC KHÔNG CHÍNH XÁC BẰNG BIỂU ĐỒ HỘP

Bài 1: Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là 56 và tứ phân vị thứ ba là 84. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị 10 và 100 giá trị nào được xem là giá trị bất thường.

Đáp án:

Ta có Q₁ = 56; Q₃ = 84.

Khoảng tứ phân vị:

.

Do đó,

Q₁ – 1,5 = 56 – 1,5.28 = 14

Q₃ + 1,5 = 84 – 1,5.28 = 126.

Ta thấy 10 < 14 nên 10 là giá trị bất thường; 14 < 100 < 126 nên 100 không là giá trị bất thường.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 5.11: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.

2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.

3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.

4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.

5) Các số đo độ phân tán đều không âm.

Đáp án:

(1) Sai, (2) Đúng, (3) Sai, (4) Sai, (5) Đúng.

Bài 5.12: Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:

Không tính hãy cho biết:

1. Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?
2. Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

Đáp án:

1. a) Hai dãy số liệu đều có giá trị nhỏ nhất là 3, giá trị lớn nhất là 9, do đó có cùng khoảng biến thiên.
2. b) Hai dãy số liệu đối xứng qua giá trị 6 nên có số trung bình bằng 6. Các giá trị của dãy B tập trung nhiều hơn quanh giá trị trung bình nên dãy B có phương sai nhỏ hơn.

Bài 5.13: Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:

2. Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
3. Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2. 

Đáp án:

1. Sự thay đổi:

• Khoảng biến thiên: gấp 2 lần.
• Khoảng tứ phân vị: gấp 2 lần.

Do mỗi giá trị tăng 2 lần, nên số trung bình cũng tăng 2 lần, nên phương sai tăng 4 lần.

Suy ra độ lệch chuẩn tăng lên 2 lần.

1. Sự thay đổi:

• Khoảng biên thiên: không đổi.
• Khoảng tứ phân vị: không đổi.

Do mỗi giá trị tăng 2 đơn vị nên số trung bình tăng (10.2) : 10 = 2 đơn vị, nhưng các giá trị cũng tăng 2 đơn vị nên độ lệch giữa giá trị và trung bình cộng không đổi, dẫn đến phương sai không đổi.

Suy ra độ lệch chuẩn không đổi. 

Bài 5.14 : Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:

Giá trị nhỏ nhất bằng 2,4; Q₁ = 36;  Q₂ = 60; Q₃ =100; giá trị lớn nhất bằng 205.

1. Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?
2. Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.
3. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Đáp án:

1. a) Gọi dãy các giá trị của mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm có dạng: 

                     .....       

Trung vị Q₂ = 60 = x₂₆ 

Q₁ = 36 = x₁₃; Q₃ =100 = x₃₉

1. Các giá trị lớn hơn 36 trong mẫu số liệu là từ giá trị  x₁₄ trở đi (với trường hợp ), hay có 38 giá trị thỏa mãn.

Nên tỉ lệ thành phố có thuế thuốc là lớn hơn 36 là: (38 : 51).100% = 74,5%.

1. Có nhiều phương án, Q₁ và Q₃ là một phương án.

 Hai giá trị là 35 và 101 vì từ x₁₃ =36, x₃₉ =100, từ x₁₃ đến x₃₉ gồm 27 giá trị.

64. c) Khoảng tứ phân vị là: 100 – 36 = 64.

Bài 5.15: Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):  

2,977          3,155          3,920         3,412           4,236

2,593          3,270         3,813         4,042           3,387

Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

Đáp án:

Giá trị nhỏ nhất: 2,593. Giá trị lớn nhất: 4,236.

Khoảng biến thiên là: 4,236 – 2,593 = 1,643.

Q₁ = 3,155; Q₃ = 3,920 do đó khoảng tứ phân vị là 3,92 – 3,155 = 0,765.

Độ lệch tiêu chuẩn s  0,49.

Bài 5.16: Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:

7,8       3,2        7,7         8,7          8,6           8,4           7,2          3,6

5,0       4,4       6,7          7,0           4,5           6,0          5,4.

Hãy tìm các giá trị bất thường nếu có của mẫu số liệu trên.

Đáp án:

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

3,2; 3,6; 4,4; 4,5; 5,0; 5,4; 6,0; 6,7; 7,0; 7,2; 7,7; 7,8; 8,4; 8,6; 8,7.

Vì n = 15 là số lẻ nên số trung vị là giá trị chính giữa Q₂ = 6,7.

Nửa số liệu bên trái có 7 số liệu nên có tứ phân vị thứ nhất là Q₁ = 4,5.

Nửa số liệu bên phải có 7 số liệu nên có tứ phân vị thứ ba là Q₃ = 7,8.

Khoảng tứ phân vị là: ΔQ=Q₃−Q₁ =7,8−4,5=3,3

Ta có: Q₁ – 1,5Δ_Q = 4,5 – 4,95 = -0,45 và Q₃ + 1,5Δ_Q = 7,8 + 4,95 = 12,75 nên trong mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bất thường.

Vậy mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bất thường.