CHƯƠNG 8: TAM GIÁC

BÀI 2: TAM GIÁC BẰNG NHAU

1. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU

Bài 1: Dùng kéo cắt một tờ giấy thành hình tam giác ABC. Đặt tam giác ABC lên tờ giấy thứ hai. Vẽ và cắt theo các cạnh của tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Hãy so sánh các cạnh và các góc của hai tam giác ABC và A'B'C'.

Đáp án:

AB = A'B'; AC = A'C'; BC = B'C'

.

.

Bài 2: Quan sát hình 4. Hai tam giác ABC và MNP có bằng nhau không? Hãy chỉ ra các cặp góc và các cặp cạnh tương ứng bằng nhau

Đáp án:

 vì có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

AB = MN; AC = MP; BC = NP.

( Vì

 )

Bài 3: Trong Hình 5, cho biết △GHI=△MNP. Hãy tính số đo góc M và độ dài cạnh GI.

Đáp án:

+) Xét tam giác GHI có:

.

+) Vì , nên

.

GI = MP = 5 cm.

2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác ABC như trong Hình 6a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có ba cạnh bằng ba cạnh của tam giác ABC theo các bước:

- Vẽ đoạn thẳng B'C' = CB

- Vẽ cung tròn tâm B' có bán kính bằng BA, vẽ cung tròn tâm C' có bán kính bằng CA

- Hai cung tròn trên cắt nhau tại A'

- Vẽ các đoạn thẳng B'A', C'A', ta được tam giác A'B'C'(Hình 6b).

Em hãy cắt rời tam giác A"B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không. Theo em hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Đáp án:

Theo em hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Bài 2: Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có..., B'A' = BA, B'C' = BC theo các bước:

- Vẽ...

- Trên tia B'x lấy đoạn B'A' = BA

- Trên tia B'y lấy đoạn B'C' = BC

- Vẽ đoạn A'C', ta được tam giác A'B'C' (Hình 8b)

Em hãy cắt rời tam giác A'B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không? Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không? 

Đáp án:

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Bài 3: Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có Bˆ=B′ˆ, B'A' = BA, B'C' = BC theo các bước:

- Vẽ đoạn thẳng B'C"' = BC

- Ở về cùng một phía của tờ giấy đối với đường thẳng B'C' vẽ C′B′xˆ=CBAˆ và vẽ B′C′yˆ=BCAˆ

- Vẽ giao điểm A' của hai tia B'x và C'y ta được tam giác A'B'C' Em hãy cắt rời tam giác A'B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không.

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Đáp án:

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Bài 4: Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.

Đáp án:

1. a) Xét và có:

MN = PQ

NQ = PM

MQ chung

Suy ra  =  (c.c.c).

1. b) Xét và có:

GH = KI

GK chung

Suy ra   =  (c.g.c).

1. c)  Ta có: (hai góc kề bù)

 (hai góc kề bù)

Mà

Suy ra .

+) Xét  và  có:

DB = CE

Suy ra   =  (g.c.g).

Bài 5: Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a, b) có bằng nhau không? Vì sao?

Đáp án:

1. a) Xét và có

AC = EC

BC = CD

Suy ra  (c.g.c)

1. b) Hai tam giác trong mỗi hình 14b không bằng nhau vì các cạnh tương ứng của tam giác không bằng nhau.

Bài 6: Nêu thêm điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 15a, b) bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh.

Đáp án:

1. a) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần thêm yếu tố:

+ Trường hợp 1:

+ Trường hợp 2: AD = CD.

1. b) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần thêm yếu tố: KN = MN.

Bài 7: Cho...Vẽ cung tròn tâm O, cung này cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Vẽ hai cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại điểm P nằm trong... Nối O với P (Hình 16). Hãy chứng minh rằng ΔOMP=ΔONP, từ đó suy ra OP là tia phân giác của...

Đáp án:

Cung tròn tâm O, cắt Ox, Oy theo thứ tự M, N nên OM = ON.

Hai cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính cắt nhau tại điểm P nên MP = NP.

Xét  và  có:

OM = ON

MP = NP

OP chung

Suy ra  =  (c.c.c).

Suy ra: , từ đó OP là tia phân giác của góc .

3. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1: Hãy nêu các trường hợp bằng nhau cho mỗi cặp tam giác trong Hình 17.

Đáp án:

1. a) Xét và có:

AB = DE

AC = DF.

 =  (c.g.c).

1. b) Xét và có:

BC = QR

(vì ; , mà  = ).

 =  (g.c.g)

1. c) Xét và có:

AC = HG

Suy ra  =  (g.c.g).

Bài 2: Tìm các tam giác vuông bằng nhau trong mỗi hình bên (Hình 19)

Đáp án:

1. a) Xét vuông tại N và vuông tại P có:

NP chung

NM = PQ

vuông  =  (cgv-cgv)

1. b) Xét và cùng vuông tại H có:

BH chung

Suy ra  =  (theo trường hợp cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy)

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A trong Hình 20a. Vẽ lên tờ giấy tam giác vuông A'B'C' có cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác ABC như sau:

- Vẽ góc vuông xA'y, trên cạnh A'y vẽ đoạn A'C' = AC

- Vẽ cung tròn tâm C' bán kính bằng BC cắt A'x tại B' Cắt rời tam giác A'B'C'.

Em hãy cho biết có thể đặt chồng khít tam giác này lên tam giác kia hay không? 

Đáp án:

Có thể đặt chồng khít tam giác này lên tam giác kia.

Bài 4: Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 22 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào?

Đáp án:

+) Xét  vuông tại B và   vuông tại C có:

cạnh huyền AD chung

.

 (ch-gn).

+) Xét  vuông tại C và  vuông tại B có: 

AB = AC (vì )

.

 (một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy).

+) Xét  và  có:

AE = AH (vì )

AD chung

   =  (c.g.c).

+) Xét  vuông tại B và  vuông tại C có:

BD = DC

DE = DH

 =  (ch-cgv).

BÀI TẬP

Bài 1: Quan sát Hình 23 rồi thay dấu ? bằng tên tam giác thích hợp.

1. ΔABE=Δ?
2. ΔEAB=Δ?
3. Δ?=ΔCDE

Đáp án:

Bài 2: Cho ΔDEF=ΔHIK và..., DE = 5cm, IK = 7cm. Tính số đo...và độ dài HI, EF.

Đáp án:

Theo đề bài có , nên ta có:

HI = DE = 5cm.

EF = IK = 7cm.

.

Bài 3: Cho hai tam giác bằng nhau ABC và DEF (các đỉnh viết chưa tương ứng), trong đó... Tìm các cặp cạnh bằng nhau, cặp góc tương ứng bằng nhau còn lại.

Đáp án:

Xếp theo thứ tự tương ứng các đỉnh có: .

Các cặp góc tương ứng bằng nhau: , , .

Các cặp cạnh bằng nhau là: AB = EF, BC = FD, AC = ED.

Bài 4: Cho biết ΔMNP=ΔDEF và MN = 4cm, MP = 5cm, EF = 6cm. Tính chu vi tam giác MNP

Đáp án:

Vì  nên NP = EF = 6cm.

Chu vi tam giác MNP là: MN + MP + NP = 4 + 5 + 6 = 15 (cm)

Bài 5: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Vẽ hai đường thẳng m và n lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Lấy điểm C trên m, CO cắt n tại D (hình 24). Chứng minh rằng O là trung điểm của CD.

Đáp án:

Xét  vuông tại A và   vuông tại B có:

 (2 góc đối đỉnh).

AO = OB

Suy ra  (cạnh góc vuông và góc nhọn).

 OC = OD 

mà 3 điểm O, C, D thẳng hàng

 O là trung điểm của CD.

Bài 6: Cho hình 25 có EF = HG, EG = HF.

Chứng minh rằng: 

1. ΔEFH=ΔHGE
2. EF // HG

Đáp án:

1. a) Xét và có:

EH chung

GH = EF

GE = HF

  (c.c.c)

1. b) Theo a: nên

mà hai góc này ở vị trí so le trong

  EF // HG

Bài 7: Cho tam giác FGH có FG = FH. Lấy điểm I trên cạnh GH sao cho FI là tia phân giác của... Chứng minh rằng hai tam giác FIG và FIH bằng nhau

Đáp án:

Xét ΔFGI và ΔFHI có:

FI chung

Góc GFI = Góc HFI

FG = FH

Suy ra ΔFGI = ΔFHI (c.g.c).

Bài 8: Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh rằng:

1. a) AD = BC.
2. b) ΔEAB=ΔECD.
3. c) OE là tia phân giác của góc xOy

Đáp án:

1. a) Xét và có:

AO = CO

 chung

OD = OB

 =  (c.g.c).

 AD = BC.

1. b) + nên

Mà

Ta lại có: OA = OC và OB = OD

 OB - OA = OD - OC

 AB = CD

+ Xét  và  ta có:

 (chứng minh trên)

AB = CD (chứng minh trên)

 (chứng minh trên).

Suy ra  (g.c.g)

1. c) Xét và có:

OE chung

OB = OD

EB = ED (vì )

 =  nên .

OE là tia phân giác góc xOy.

Bài 9: Đặt tên cho một số điểm có trong Hình 26 và chỉ ra ba cặp tam giác bằng nhau trong hình đó.

Đáp án:

.