BÀI 35. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC

1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC TRONG MỘT TAM GIÁC

Bài 1: Vẽ tam giác ABC...

Đáp án:

Ba đường trung trực DP, DQ, DR cùng cắt nhau tại điểm D.

Bài 2: Dùng tính chất đường trung thực của một đoạn thẳng...

Đáp án:

1. a) Gọi M là giao điểm của BC với đường trung trực của BC

=> OM là đường trung trực của BC, OM⊥ BC

Xét ∆OBM và ∆ OCM ta có: 2 tam giác đều vuông tại M

MB= MC ( M là trung điểm của CB)

OM chung => ∆OBM = ∆ OCM => OB= OC

Tương tự, ta có OC= OA

1. b) Từ câu a ta có OA=OB => ∆OAB là tam giác cân tại O

Kẻ ON ⊥ AB=> ON là đường trung tuyến của AB và N là trung điểm của AB

=> O thuộc đường trung trực của AB

Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC...

Đáp án:

Gọi AN, CM, BP là 3 đường trung tuyến của tam giác đều ABC, giao nhau ở điểm G

Xét ∆ ANB và ∆ ANC, có:

 AN chung

NB= NC

AB= AC =>∆ ANB = ∆ ANC =>  = 

=> AN hay AG là đường phân giác của 

Tương tự BP hay BG là đường phân giác của 

=> G cách đều 3 cạnh AB, AC, BC mag G là trọng tâm

=> G là giao điểm của 3 đường trung trực => G cách đều 3 điểm A,B,C

2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC

Bài 1: Vẽ tam giác ABC và 3 đường cao của nó...

Đáp án:

Ba đường cao AN, BP, CM cùng đi qua điểm H.

Bài 2: a) Chứng minh trong tam giác ABC...

Đáp án:

a)Gọi AD là đường trung tuyến và đường phân giác tại đỉnh A của ∆ ABC

Xét  ∆ ADB và ∆ ADC, có: AB=AC

DB=DC

AD chung =>∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c)

=>   = 

Mà  +  = 180^o =>  = = 90^o

=>AD vuông góc với BC

mà DA=DB =>AD là đường trung trực của tam giác ABC

1. b) G là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC đều

GM, GN, GP là khoảng cách từ G đến AB, BC, AC

Xét ∆ AGB và ∆ AGC, có: AG chung

GB= GC

                                                    AB= AC => ∆ AGB = ∆ AGC (c.c.c)

=>  =  => AG là đường phân giác của 

Tương tự ta có: CG là đường phân giác của 

=> G là điểm giao nhau giữa 2 đường phân giác AG và CG

=> G cách đều 3 cạnh AB,AC, BC.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 9.26: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông...

Đáp án:

Trong ΔABC ta có H là trực tâm nên:

AH ⊥ BC tại N, BH ⊥ AC tại P, CH ⊥ AB tại M

Trong ΔAHB, ta có:

       AC ⊥ BH

       BC ⊥ AH =>C là trực tâm của tam giác AHB.

Trong ΔHAC, ta có: AB ⊥ CH

       CB ⊥ AH => B là trực tâm của ΔHAC.

Trong ΔHBC, ta có: BA ⊥ HC

       CA ⊥ BH => A là trực tâm của tam giác HBC

Bài 9.27: Cho tam giác ABC có...

Đáp án:

Gọi E là chân đường cao từ C xuống AB, D là chân đường cao từ B xuống AC

Bài 9.28: Xét điểm O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC...

Đáp án:

O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC => O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC => OA= OB= OC

=> ∆ OAB cân tại O. =>   = 

      ∆ OAC cân tại O  =>   + 

Xét ∆ OAB ta có:  +  + =  180°

                     =>    2  + =  180°  => =  180° -  2 

Tương tự ta có  =  180° -  2 

O thuộc BC =>  + =  180°

                  =.> 180° -  2  + 180° -  2  = 180°

                  => 360° - 180° = 2  +  2  

                   => 180°     =   2 ( +    )

                   =>  = 90°  => ∆ ABC vuông tại A

Bài 9.29: a) Có một chi tiết máy...

Đáp án:

a)Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài chi tiết máy.

Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại O. Khi đó O là tâm cần xác định.

Bán kính đường tròn cần tìm là độ dài đoạn OB (hoặc OA hoặc OC).

Ta có hình vẽ minh họa

b)Vẽ đường trung trực của các đoạn AB, AC, BC

3 đường trung trực này cắt nhau tại M. Khi đó MA= MB=MC

M là điểm cần xác định

      Ta có hình minh họa

Bài 9.30: Cho hai đường thẳng không vuông góc...

Đáp án:

Kẻ HD ⊥ đường thẳng c tại điểm D, HE⊥ đường thẳng b tại điểm E

Nối A với H. Lấy điểm B thuộc đường thẳng b sao cho BE nằm giữa B và A

Từ B kẻ đường vuông góc với AH, đường thẳng đó cắt đường thẳng c tại 1 điểm. Điểm đó chính là điểm C => H là trực tâm của tam giác ABC