Giáo án chuyên đề Toán 11 cánh diều CĐ 1 Bài 2: Phép đồng dạng (P1)

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 1. Đặt câu hỏi:

+ Quy tắc cho tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với điểm M’ xác định như trên có phải là một phép biến hình không?

- Từ đó GV hướng dẫn HS đi đến khái niệm phép vị tự.

- HS đọc ví dụ 1: xác định ảnh của điểm qua phép vị tự.

+ GV hướng dẫn HS vẽ hình. Xác định ảnh.

- Áp dụng HS làm Luyện tập 1.

+ Tìm ảnh của ba đỉnh tam giác ABC.

- HS thực hiện HĐ 2.

+ a) Xác định ảnh sử dụng khái niệm phép vị tự.

+ b) Vận dụng khái niệm phép vị tự và cộng trừ vecto biểu diễn  theo Sau đó tìm mối quan hệ A’B’ và AB.

- HS khái quát thành định lí: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k lần lượt biến hai điểm A, B thành hai điểm A’, B’ thì mối quan hệ của hai vecto  ;  và A’B’; AB

+ Chú ý về hệ số  khi nói về độ dài .

- HS thực hiện HĐ 3.

+ Từ đó GV hướng dẫn HS hình thành tính chất phép vị tự.

- GV đặt câu hỏi về hệ quả của 2 định lí vừa học.

+ Đặt thêm câu hỏi: Qua phép vị tự tâm O tỉ số k, ảnh của đường thẳng trùng với chính nó khi nào?

- HS thực hiện Ví dụ 2, 3, 4: củng cố tính chất phép vị từ và ứng dụng của phép vị tự trong giải toán.

+ VD 2: Sử dụng tính chất trọng tâm, xác định tỉ số phép vị tự phù hợp.

+ VD 3: Áp dụng tính chất của phép vị tự và định lí Thales.

+ VD 4: xác định tâm và bán kính của đường tròn là ảnh.

- HS luyện tập làm Luyện tập 2.

+ Muốn xác định đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) ta cần xác định các yếu tố gì?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

I. Phép đồng dạng phối cảnh (phép vị tự)

1. Khái niệm

HĐ 1

- Lấy điểm O và điểm M bất kì;

- Trên tia OM, lấy điểm M' sao cho OM' = 2OM.

Kết luận

Cho điểm cố định và số thực  không đổi,  Phép biến hình biến mỗi điểm  thành điểm M’ sao cho  được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí hiệu .

Điểm  được gọi là ảnh của điểm M, kí hiệu

Ví dụ 1 (SGK -tr.27)

Luyện tập 1

Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O tỉ số . Khi đó ta có:

Do đó, các điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.

2. Tính chất

HĐ 2:

a) Vì nên

b)

Định lí

Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k ( lần lượt biến hai điểm A, B thành hai điểm A’, B’ thì  và .

HĐ 3:

a) Vì

nên  và

b) Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên hai vectơ   và  ngược hướng với nhau.

c)

+ Với ta có:

, nên hai vectơ cùng hướng với nhau.

, nên hai vectơ cùng hướng với nhau.

Mà hai vectơ  ngược hướng với nhau nên ngược hướng nhau.

+ Với tương tự.

Vậy ngược hướng nhau.

Định lí:

Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

Hệ quả

Phép vị tự tỉ số

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó;

- Biến tia thành tia;

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là
- Biến góc thành góc bằng nó;\

- Biến đường tròn có bán kính thành đường tròn có bán kính  và có tâm là ảnh của tâm.

Chú ý:

Qua phép vị tự tâm  tỉ số ảnh của một đường thẳng trùng với chính nó khi và chỉ khi  hoặc  thuộc đường thẳng.

Ví dụ 2 (SGK -tr. 28)

Ví dụ 3 (SGK -tr. 29)

Ví dụ 4 (SGK -tr. 30)

Luyện tập 2

Qua phép vị tự tâm O tỉ số  thì điểm O biến thành chính nó. Do đó, ảnh của đường tròn  là đường tròn có tâm O và bán kính .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV vẽ lên bảng điểm O và đoạn thẳng AB, yêu cầu HS thực hiện HĐ 4, trả lời các câu hỏi, nhận xét mối liên hệ giuawc độ dài các đoạn thẳng AB ban đầu và  là ảnh của phép vị tự và phép quay.

- GV giới thiệu: phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình như HĐ 4, được gọi là phép đồng dạng.

- Từ đó HS khái quát: thế nào phép đồng dạng.

+ Lưu ý về tỉ số k của phép đồng dạng.

- HS đọc hiểu Ví dụ 5.

- GV đặt câu hỏi để đưa đến nhận xét:

+ Thực hiện liên tiếp phép dời hình và phép vị tự tỉ số k có được phép đồng dạng không? Nếu có thì tỉ số phép đồng dạng là bao nhiêu?

+ Thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng có tỉ số lần lượt là  thì ta thu được phép đồng dạng tỉ số bao nhiêu?

- HS thực hiện Ví dụ 6, Luyện tập 3: củng cố khái niệm phép đồng dạng.

+ VD6: dựa vào tỉ lệ của bản đồ và thực tế để tính khoảng cách. Đây là ví dụ về phép đồng dạng trong thực tế.

+ Luyện tập 3: sử dụng tỉ lệ của kính hiển vi so với thực tế.

- HS thực hiện HĐ 5.

Xác định phép đồng dạng biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A’B’C’D’.

- GV giới thiệu: có phép đồng dạng biến hình chữ nhật thành gọi là hai hình đồng dạng.

- HS khái quát thế nào là hình đồng dạng.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 7, 8. + VD 7: chỉ ra phép đồng dạng biến tứ giác thành

+ VD8: Chỉ ra phép đồng dạng biến hình  thành

- HS thực hiện Luyện tập 4.

+ GV lưu ý: có thể có nhiều phép đồng dạng biến hai hình đồng dạng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

II. Phép đồng dạng

1. Khái niệm

HĐ 4:

a) Nối O với A và O với B, lấy điểm  là trung điểm của đoạn thẳng OA, lấy điểm  là trung điểm của đoạn thẳng OB. Khi đó .

b)

+ Lấy  điểm O làm tâm. Dựng điểm  sao cho  và .

+ Lấy điểm O làm tâm. Dựng điểm  sao cho  và .

Vậy đoạn thẳng  là ảnh của đoạn thẳng qua phép quay tâm O với góc quay

c) Vì đoạn thẳng  là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép vị tự tâm O tỉ số  nên

Vì đoạn thẳng  là ảnh đoạn thẳng  qua phép quay tâm O với góc quay  nên

Từ đó suy ra:

Định nghĩa

Phép biến hình F biến hai điểm  bất kì thành hai điểm  sao cho  với là số thực cho trước, gọi là phép đồng dạng tỉ số

Ví dụ 5 (SGK -tr.30)

Nhận xét

+ Thực hiện liên tiếp phép dời hình và phép vị tự tâm O tỉ số k ta được một phép đồng dạng tỉ số . Điều ngược lại cũng đúng.

+ Thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số và phép đồng dạng tỉ số ta được một phép đồng dạng tỉ số

Ví dụ 6 (SGK -tr.31)

Luyện tập 3

Kích thước thật của virus là

2. Hai hình đồng dạng

HĐ 5

a) Áp dụng định lí Thales, ta có:
A"B" // AB nên
B"C" // BC nên
C"D" // CD nên
D"A" // DA nên .
Từ đó suy ra  với .
Do đó,  

Như vậy phép vị tự tâm  tỉ số  với biến hình chữ nhật  thành hình chữ nhật
b) Qua phép đối xứng trục d, các điểm A", B", C", D" biến thành các điểm A', B', C', D'.

Do đó, hình chữ nhật A'B'C'D' nhận được từ hình chữ nhật A"B"C"D" qua phép đối xứng trục d.

c) Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k với và phép đối xứng trục biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A'B'C'D'.

Định nghĩa

Hai hình  và  gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình  thành hình

Ví dụ 7 (SGK – tr.31)

Ví dụ 8 (SGk -tr.31)

Luyện tập 4

+) Theo tính chất hình vuông ABCD có:  .

Tam giác  cân tại  có  là đường trung tuyến nên  là đường phân giác, suy ra .
Tương tự ta chứng minh được  hay .
Trên tia , lấy điểm  sao cho . Trên tia , lấy điểm  sao cho ON' = ON. Trên tia OM, lấy điểm E' sao cho OE' = OE.
Vậy phép quay tâm  với góc quay  biến hình COEN thành hình .
+) Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là .
Khi đó .
Suy ra .
Suy ra , do đó .
Qua , kẻ đường thẳng song song với  cắt  tại , suy ra  nên theo định lí Thales trong tam giác OE'N' ta có .

Từ đó suy ra  nên ,
Vậy phép vị tự tâm  với tỉ số  biến hình C'OE'N' thành hình NOFE (2).
+) Tam giác  vuông cân tại  có  là đường trung tuyến nên NE cũng là đường cao và , suy ra  và .
Tương tự, ta chứng minh được  và .
Ta chứng minh được EFMG là hình vuông nên  và .
Vậy phép quay tâm  với góc quay -  biến hình NOFE thành hình OMGE (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau.