Định nghĩa: Ta nói dãy số có giới hạn là khi dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: hoặc .
Mở rộng: Dãy số có giới hạn là số thực nếu . Kí hiệu: hoặc .
Các giới hạn cơ bản:
- ; (với là số nguyên dương).
- (với ).
- (với là hằng số).

2. Định lý về giới hạn hữu hạn (Phép toán giới hạn)

Nếu và ():

Tổng/Hiệu:
Tích:
Thương: (với )
Căn thức: Nếu với mọi thì và

3. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa: Cấp số nhân vô hạn có công bội thỏa mãn được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Công thức tính tổng:

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Giới hạn : Dãy số có giới hạn là khi nếu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: .
Giới hạn : .
Quy tắc tính:
- (với nguyên dương).
- (với ).
- Nếu thì .

Ví dụ tiêu biểu: Tính giới hạn của dãy số .

Giải: Chia cả tử và mẫu cho (bậc cao nhất):

BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Áp dụng các giới hạn cơ bản và phép toán giới hạn:

II. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Nhận diện dãy số có giới hạn : Gồm các dãy cơ bản như hoặc (với ).
Các phép toán giới hạn: Cho phép tách giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương về giới hạn của từng số hạng thành phần (chỉ áp dụng khi các giới hạn thành phần là hữu hạn).
Kỹ thuật khử vô định : Khi tính giới hạn dạng phân thức của đa thức theo , ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của .
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Ghi nhớ điều kiện bắt buộc để áp dụng công thức .
Mối quan hệ giới hạn hữu hạn và vô cực: Hiểu rõ quy tắc nghịch đảo để giải quyết các bài toán giới hạn vô cực nhanh chóng.

III. BỐ CỤC SLIDE PPTX

SLIDE 1: Tiêu đề
- Tiêu đề: Bài 15: Giới hạn của dãy số.
- Nội dung: Tên giáo viên, môn Toán lớp 11.
SLIDE 2: Giới hạn hữu hạn của dãy số
- Tiêu đề: Khái niệm Giới hạn hữu hạn.
- Nội dung: Định nghĩa dãy số có giới hạn và giới hạn ; Liệt kê 3 giới hạn đặc biệt cần nhớ (, với , hằng số ).
SLIDE 3: Các phép toán về giới hạn hữu hạn
- Tiêu đề: Định lý về phép toán giới hạn.
- Nội dung: Các công thức tính giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, căn thức khi đã biết và .
SLIDE 4: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Tiêu đề: Cấp số nhân lùi vô hạn.
- Nội dung: Định nghĩa điều kiện ; Công thức tính tổng vô hạn .
SLIDE 5: Giới hạn vô cực
- Tiêu đề: Giới hạn vô cực của dãy số.
- Nội dung: Ký hiệu ; Các giới hạn vô cực cơ bản (, với ) và quy tắc liên hệ nghịch đảo với .
SLIDE 6: Phương pháp giải toán kinh điển
- Tiêu đề: Phương pháp chia lũy thừa bậc cao nhất.
- Nội dung: Các bước xử lý giới hạn phân thức dạng bằng cách chia tử và mẫu cho với là số mũ lớn nhất.
SLIDE 7: Ví dụ minh họa thực hành
- Tiêu đề: Ví dụ áp dụng trực quan.
- Nội dung: Trình bày chi tiết các bước biến đổi của ví dụ tính .
SLIDE 8: Tổng kết kiến thức
- Tiêu đề: Cẩm nang nhanh về giới hạn dãy số.
- Nội dung: Sơ đồ tóm tắt: Phân biệt giới hạn hữu hạn - giới hạn vô cực; Công thức cấp số nhân lùi vô hạn.