Giáo án và PPT Toán 11 kết nối Bài 15: Giới hạn của dãy số

BÀI 15. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (3 TIẾT)

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV cho HS đọc phần Nghịch lý Zeno:

Achilles (nhân vật trong thần thoại Hy Lạp, được mô tả có thể chạy nhanh như gió) đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Vị trí xuất phát của Achilles là , cách vị trí xuất phát của rùa một quãng đường có chiều dài là a. Zeno lí luận rằng, mặc dù chạy nhanh hơn nhưng Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Thật vậy, trước tiên Achilles phải đến được vị trí trong khoảng thời gian này, rùa đã di chuyển đến vị trí . Sau đó, Achilles phải đến được vị trí , lúc này rùa đã di chuyển đến vị trí Cứ như vậy, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

TIẾT 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ;

ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Hoạt động 1: Giới hạn của dãy số.

Nhiệm vụ 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

- GV cho HS quan sát hình 4.13 và trả lời câu hỏi:

+ Khoảng cách từ một số a bất kì đến số được gọi là gì của ?

+ Nếu cho thì giá trị của sẽ bằng bao nhiêu? Nếu biểu diễn trên trục số thì giá trị đó như thế nào với số 0?

(gần tiến tới 0).

Sản phẩm dự kiến:

) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là .

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

b) Khoảng cách từ đến 0 là .

Ta có:

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Ta nói dãy số có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi .

Nhiệm vụ 2: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

- GV triển khai HĐ2 và cho HS thực hiện tính toán.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng thực hiện biến đổi, tính toán từ

Sản phẩm dự kiến:

Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

Ta có:

Do đó

Hoạt động 2: Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số.

- GV triển khai HĐ3 và cho HS thảo luận nhóm đôi để thực hiện phần HĐ này.

+ GV mời 1 HS tính sau đó tính giới hạn của tổng .

+ GV chỉ định cho 1 HS tính giới của và sau đó tính tổng hai giới hạn đó.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ3.

+) Ta có: 

Lại có: 

khi

Do vậy,

+) Ta có: khi

 Do vậy ,

Và khi

Do vậy,

Khi đó,

Vậy

Quy tắc tính giới hạn

a) Nếu và thì

+

+

+

+ (nếu ) 

b)  Nếu với mọi n và thì

và

TIẾT 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN.

GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

…

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Yêu cầu: HS vận dụng các kiến thức của bài học hoàn thành bài tập thông qua đưa ra câu trả lời đúng cho các câu hỏi trắc nghiệm.

Câu 1. Dãy số nào sau đây có giới hạn 0 ?

A.                                  B.                     C.                  D.

Câu 2. Giới hạn bằng:

A.                                       B.                         C.                            D.

Câu 3. Chọn kết luận không đúng:

A.     B.          C.                    D.

Câu 4. bằng:

A.                              B.                              C.                       D.

Câu 5. bằng:

A.                              B.                               C.                      D.

Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

GV yêu cầu HS thảo luận cặp đôi, hoàn thành bài tập sau:

HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài 5.5 ; 5.6 (SGK – tr.109).

Sản phẩm dự kiến:

Bài 5.5.

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn .

Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

(mg).

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

Lại có là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội .

Do đó,

Suy ra

Bài 5.6.

Tam giác vuông tại có

Do đó,

Ta có: và , suy ra

Tam giác vuông tại nên

Vì và nên AB // , suy ra (2 góc đồng vị).

Tam giác vuông góc tại nên

Vì và nên // suy ra

Tam giác vuông tại nên

Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được

Ta có:

Vì góc là góc nhọn nên sin , do đó .

Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội