Đáp án Toán 11 kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số (P2)

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết giới hạn vô cực...

Đáp án:

1. a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là 

Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là

Sau chu kì thứ hai, số lượng vi khuẩn là

Cứ tiếp tục như vậy, ta dự đoán được sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn là  với .

1. b) Giả sử sau chu kì thứ k, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000.

Khi đó ta có

Bài 2: Tính...

Đáp án:

Ta có:

Ta có ;

Do đó,

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 5.1: Tìm các giới hạn sau...

Đáp án:

1. a)
2. b)

Bài tập 5.2: Cho hai dãy số không âm...

Đáp án:

1. a) Ta có: do đó,

và  nên

Vậy

1. b) Ta có: và , do đó,

và  nên

Vì  với mọi n nên  với mọi n và

Do đó,

Bài tập 5.3: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi...

Đáp án:

1. a) Chia cả tử và mẫu của cho , ta được

vì

1. b)

Ta có:

Vì  và

Nên

Vậy

Bài tập 5.4: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số...

Đáp án:

1. a) Ta có:

Do  là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với  và  nên

Vậy

1. b) Ta có:

Do   là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với  và  nên:

Vậy

Bài tập 5.5: Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc...

Đáp án:

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn .

Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

(mg).

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

Lại có  là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu  và công bội .

Do đó,

Suy ra

Bài tập 5.6: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A...

Đáp án:

Tam giác  vuông tại  có

Do đó,

Ta có:  và , suy ra

Tam giác  vuông tại  nên

Vì  và  nên AB // , suy ra  (2 góc đồng vị).

Tam giác  vuông góc tại  nên

Vì  và  nên // suy ra

Tam giác  vuông tại  nên

Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được

Ta có:

Vì góc  là góc nhọn nên sin , do đó .

Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn  là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu  và công bội

Do đó