Nhận biết khái niệm giới hạn của dãy số.
Giải thích một số giới hạn cơ bản.
Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
Tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn giả định hoặc liên quan đến thực tiễn.

Năng lực

Năng lực chung:

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá.
Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm.
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng: Tư duy và lập luận toán học; Giao tiếp toán học; Mô hình hóa toán học; Giải quyết vấn đề toán học.

Tư duy và lập luận toán học: Sử dụng tư duy toán học để hiểu, giải thích và áp dụng khái niệm về giới hạn của dãy số.
Giao tiếp toán học: HS phải diễn đạt ý tưởng, quy tắc và phương pháp tính toán liên quan đến giới hạn một cách dễ hiểu và logic.
Mô hình hóa toán học: HS phải biểu diễn các dãy số dưới dạng biểu thức toán học, áp dụng quy tắc và phương pháp tính toán để tìm giới hạn trong các bài toán thực tế.
Giải quyết vấn đề toán học: HS áp dụng các quy tắc, định lí, công thức và phương pháp tính toán để xác định giới hạn của dãy số trong bài toán thực tế.

Phẩm chất

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.
Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu:

- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.

b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu, bước đầu hình dung về nội dung sẽ học: Giới hạn của dãy số.
d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS đọc phần Nghịch lý Zeno:

Achilles (nhân vật trong thần thoại Hy Lạp, được mô tả có thể chạy nhanh như gió) đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Vị trí xuất phát của Achilles là , cách vị trí xuất phát của rùa một quãng đường có chiều dài là a. Zeno lí luận rằng, mặc dù chạy nhanh hơn nhưng Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Thật vậy, trước tiên Achilles phải đến được vị trí trong khoảng thời gian này, rùa đã di chuyển đến vị trí . Sau đó, Achilles phải đến được vị trí , lúc này rùa đã di chuyển đến vị trí Cứ như vậy, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, GV mô tả lập luận của Zeno qua hình vẽ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: HS có hứng thú và khơi gợi được nội dung bài học cho HS.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: “Hôm nay chúng ta sẽ bắt đầu một chủ đề thú vị và quan trọng trong toán học - Giới hạn của dãy số. Đây là một khái niệm có ảnh hưởng sâu sắc đến nhiều lĩnh vực trong thực tế. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về ý nghĩa và ứng dụng của giới hạn trong các bài toán thực tế, từ các tình huống thực tế đơn giản đến các vấn đề phức tạp hơn. Hãy sẵn sàng để đặt ra những câu hỏi, sử dụng tư duy toán học và mô hình hóa để khám phá và hiểu rõ hơn về giới hạn của dãy số.”

Bài mới: Giới hạn của dãy số.

HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

TIẾT 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ;

ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Hoạt động 1: Giới hạn của dãy số.

a) Mục tiêu:

- HS nhận biết và phát biểu được dãy số có giới hạn là 0 và dãy số có giới hạn là số thực a.

- HS sử dụng được các công thức giới hạn của dãy số để xử lí được các bài tập, ví dụ có trong bài.

b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện HĐ1; Luyện tập 1,2 và các Ví dụ.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS nắm được phát biểu được dãy số có giới hạn là 0 và dãy số có giới hạn là số thực a.
d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

- GV cho HS quan sát HĐ1 và suy nghĩ trả lời.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số và biểu diễn trên trục số.

+ GV đặt câu hỏi: Khoảng cách từ một số a bất kì đến số được gọi là gì của ?

(Giá trị tuyệt đối của số )

+ Lấy từ đó ta tính được n.

- GV có thể ví dụ thêm cho HS trả lời:

Nếu cho thì giá trị của sẽ bằng bao nhiêu? Nếu biểu diễn trên trục số thì giá trị đó như thế nào với số 0?

(gần tiến tới 0).

Từ đó GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức trọng tâm cho HS quan sát và ghi bài.

- GV cho HS đọc – hiểu phần Ví dụ 1 và yêu cầu HS trình bày lại cách thực hiện.

- GV lưu ý cho HS về kết quả của những giới hạn từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 theo SGK.

- GV triển khai Luyện tập 1 và cho HS thảo luận với bạn cùng bàn để suy nghĩ cách làm và trình bày kết quả.

+ GV gợi ý:

Xét

Ta có khi

Nhiệm vụ 2: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

- GV triển khai HĐ2 và cho HS thực hiện tính toán.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng thực hiện biến đổi, tính toán từ

+ Từ đó tính lim của với

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thực trọng tâm cho HS.

- HS thực hiện Ví dụ 2 và trình bày vào vở từ đó HS khái quát lại: khi nào thì ?

- GV chính xác hóa đáp án bằng cách nêu phần Chú ý cho HS.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện Luyện tập 2.

+ GV yêu cầu 1 bạn bên bảng trình bày bài giải.

+ Các HS khác làm bài vào vở. GV đi kiểm tra một số HS làm bài và hỗ trợ nếu cần.

- GV triển khai Vận dụng 1 cho HS thảo luận nhóm 4 người theo phương pháp khăn trải bàn để thực hiện bài tập này.

+ GV gợi ý: Theo giải thiết, với ta có ,……

Từ đó, khi

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Dãy số có giới hạn là 0 và dãy số có giới hạn là số thực a.

1. Giới hạn của dãy số.

HĐ1. Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là .

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

b) Khoảng cách từ đến 0 là .

Ta có:

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Khái niệm

Ta nói dãy số có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi .

Ví dụ 1: (SGK – tr.105).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.105).

Chú ý

Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết quả như sau:

+ với k là một số nguyên dương.

+ nếu

+ Nếu với mọi và thì .

Luyện tập 1

Xét dãy số có

Ta có:

;

Do đó, .

HĐ2. Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

Ta có:

Do đó

Định nghĩa

Ta nói dãy số có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu , kí hiệu hay khi .

Ví dụ 2: (SGK – tr.106).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.106).

Chú ý

- khi và chỉ khi

- Nếu (c là hằng số) thì

Luyện tập 2

Ta có:

khi

Do vậy .

Vận dụng

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

Và cứ tiếp tục như vậy…

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là

Ta có: , do đó,

Hoạt động 2: Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số.

a) Mục tiêu:

- Học sinh hình thành quy tắc tính giới hạn.

- Học sinh nắm được các công thức tính giới hạn và áp dụng vào các bài tập, ví dụ có trong bài.

b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện HĐ3; Luyện tập 3 và các Ví dụ.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS nắm được các công thức tính giới hạn và áp dụng vào các bài tập, ví dụ có trong bài.
d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ3 và cho HS thảo luận nhóm đôi để thực hiện phần HĐ này.

+ GV mời 1 HS tính sau đó tính giới hạn của tổng .

+ GV chỉ định cho 1 HS tính giới của và sau đó tính tổng hai giới hạn đó.

- Từ HĐ trên GV mô tả trường hợp tổng quát và giới thiệu các quy tắc tính giới hạn theo khung kiến thức trọng tâm cho HS.

- GV gợi ý cho HS làm Ví dụ 3:

Cách tính giới hạn của một dãy số có dạng phân thức hữu tỉ: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn.

- GV cho HS suy nghĩ Luyện tập 3, áp dụng cách tính giới hạn của một dãy số có dạng phân thức hữu tỉ và thực hiện bài toán.

+ GV mời 1 HS lên bảng làm bài.

+ Các HS khác làm bài vào vở và đối chiếu với đáp án của bạn trên bảng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Quy tắc tính giới hạn.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

HĐ3.

+) Ta có:

Lại có:

khi

Do vậy,

+) Ta có: khi

Do vậy ,

Và khi

Do vậy,

Khi đó,

Vậy

Quy tắc tính giới hạn

a) Nếu và thì

+ (nếu )

b) Nếu với mọi n và thì

và

Ví dụ 3: (SGK – tr.106)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.106).

Luyện tập 3

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

TIẾT 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN.

GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

Hoạt động 3: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

a) Mục tiêu:

- Học sinh nắm được và phát biểu được khái niệm của cấp số nhân lùi vô hạn.

- Học sinh nắm được công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và áp dụng được công thức để tính toán các bài toán, các ví dụ có trong bài.

b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý nghe giảng, thực hiện hoạt động, trả lời câu hỏi, làm HĐ4, Luyện tập 4, Vận dụng 2 và các Ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS nhận biết được khái niệm của cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
d) Tổ chức thực hiện:

Trên chỉ là 1 phần của giáo án. Giáo án khi tải về có đầy đủ nội dung của bài. Đủ nội dung của học kì I + học kì II