Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 kết nối Bài 15: Giới hạn của dãy số

THÂN MẾN CHÀO ĐÓN CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY! 

KHỞI ĐỘNG 

• Cho  lim┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗 =a và lim┬(n→+∞)⁡〖v_n 〗 =b≠0, hãy tính

lim┬(n→+∞)⁡〖〖(u〗_n 〗.v_n);lim┬(n→+∞)⁡〖(u_n 〗+v_n);   lim┬(n→+∞)⁡〖u_n/v_n 〗   

• Nêu công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_1 và công bội là q.

CHƯƠNG V: GIỚI HẠN.  

HÀM SỐ LIÊN TỤC 

BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 

HỆ THỐNG  
KIẾN THỨC 

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n | có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu 〖lim_(x→+∞)〗⁡〖u_n=〗 0 hay u_n→0 khi n→+∞. 

Ví dụ: Dãy số có giới hạn là 0 là dãy  

u_n=1/n;u_n=1/n^2 . 

Chú ý 

Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết quả như sau: 

• lim┬(x→+∞)⁡〖1/n^k =0〗 với k là một số nguyên dương.
• lim┬(x→+∞)⁡〖q^n 〗=0 nếu |q|<1;
• Nếu |u_n |≤v_n với mọi n≥1 và lim┬(x→+∞)⁡〖v_n 〗=0 thì lim┬(x→+∞)⁡〖u_n 〗=0.

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu (lim)┬(n→+∞)⁡〖(u_n-a)〗=0, kí hiệu (lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗=a hay u_n→a khi n→+∞. 

"Ví dụ:"  (lim)┬(n→+∞)  (2n+1)/3n=2/3 

Chú ý: Nếu u_n=c (hằng số) thì  lim┬(n→+∞) u_n=c. 

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
3. a) Nếu (lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗=a và (lim)┬(n→+∞)⁡〖v_n 〗=b thì

(lim)┬(n→+∞)⁡〖(u_n+v_n)〗=a+b 

(lim)┬(n→+∞)⁡〖(u_n-v_n)〗=a-b 

(lim)┬(n→+∞)⁡〖(u_n.v_n)〗=a.b 

(lim)┬(n→+∞)⁡(u_n/v_n )=a/b " "("nếu" b≠0) 

1. b)  Nếu u_n≥0 với mọi n và (lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗=a thì

a≥0 và (lim)┬(n→+∞)⁡√(u_n )=√a 

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q với |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn 

S=u_1+u_2+…+u_n+…=u_1/(1-q) □( )(|q|<1) 

"Ví dụ: Xét tổng" S=  1/2+(-1/4)+1/8+…+(-1)^(n+1)/(2^n  )+… 

"Tổng trên là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với" u_1=1/2;q=-1/2 

"Vậy" S=u_1/(1-q)=1/3. 

4. Giới hạn vô cực của dãy số

• Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn +∞ khi n→+∞ nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu (lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗=+∞ hay u_n→ +∞ khi n→+∞.
• Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn -∞ khi n→+∞ nếu (lim)┬(n→+∞)⁡〖(-u_n)〗=+∞, kí hiệu (lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗=-∞ hay u_n→-∞ khi n→+∞.

ØTheo định nghĩa trên ta có: 

(lim)┬(n→+∞)⁡〖n^k 〗=+∞, với k là số nguyên dương. 

(lim)┬(n→+∞)⁡〖q^n 〗, với q>1. 

Quy tắc 

• Nếu (lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗=a và (lim)┬(n→+∞)⁡〖v_n 〗=+∞

"     (hoặc"   (lim)┬(n→+∞)⁡〖v_n 〗=-∞") thì"   (lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n/v_n 〗=0 

• Nếu (lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗=a>0, (lim)┬(n→+∞)⁡〖v_n 〗=0 và v_n>0 với mọi n thì

(lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n/v_n 〗=+∞ 

• Nếu (lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗=+∞ và (lim)┬(n→+∞)⁡〖v_n 〗=a>0 thì (lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n v_n 〗=+∞.

LUYỆN TẬP 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn của dãy số 

Phương pháp giải:  

• Chứng minh dãy số giới hạn bằng 0 bằng định nghĩa:

Ta nói dãy số (u_n ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n | có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim u_n=0 hay u_n→0 khi n→+∞. 

• Chú ý: lim┬(x→+∞)⁡〖1/n^k =0〗 với k là một số nguyên dương

lim┬(x→+∞)⁡〖q^n 〗=0 nếu |q|<1 

Nếu |u_n |≤v_n với mọi n≥1 và lim┬(x→+∞)⁡〖v_n 〗=0 thì lim┬(x→+∞)⁡〖u_n 〗=0 

• Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn bằng định nghĩa: ta chứng minh

lim⁡|u_n-L|=0 

• Mở rộng: Định lí kẹp

Định lí: Cho ba dãy số (u_n ),(v_n ) và (w_n ). Nếu u_n≤v_n≤w_n,(∀n) và  lim⁡〖u_n 〗=lim⁡〖w_n 〗=a,(a∈R) thì lim⁡〖v_n 〗=a. 

Bài 1. Chứng minh các dãy số (u_n ) sau đây có giới hạn là 0.    

"a) " u_n=(-1)^n/(4n+5) "           b) " u_n=(cos⁡4 n)/(n+3) "           c) " u_n=(1+cos⁡〖n^3 〗)/(2n+3) "         d)" u_n=(-1)^n/2^(n+1) -1/3^(n+1) 

Giải: 

1. a) Với mỗi số dương ε tùy ý, cho trước, ta có

|u_n |=|(-1)^n/(4n+5)|=1/(4n+5)<ε⇔4n+5>1/ε⇔n>1/4 (1/ε-5) 

"Với mỗi số dương cho trước, thì với mọi số tự nhiên" n>1/4 (1/ε-5)  "ta đều có" |u_n |<ε 

Vậy lim⁡〖u_n 〗=0. 

1. b) Ta có ∀n∈N^∗ thì |cos⁡4 n|≤1

⇒|u_n |=|(cos⁡4 n)/(n+3)|≤|1/(n+3)|≤|1/n|=1/n 

"Áp dụng: “Nếu " k" là một số thực dương cho trước thì "  lim⁡〖1/n^k 〗=0"” ta được"  lim⁡〖1/n〗=0 

Từ đó suy ra lim⁡〖u_n 〗=0. 

1. c) Ta có ∀n∈N^∗ thì |cos⁡〖n^3 〗 |≤1

⇒|u_n |=|(1+cos⁡〖n^3 〗)/(2n+3)|≤|2/(2n+3)|≤|2/2n|=1/n 

"Áp dụng “Nếu " k" là một số thực dương cho trước thì "  lim⁡〖1/n^k 〗=0"” ta được"  lim⁡〖1/n〗=0 

Từ đó suy ra lim⁡〖u_n 〗=0. 

1. d) Ta có

|u_n |=|(-1)^n/2^(n+1) -1/3^(n+1) |≤1/2^(n+1) +1/3^(n+1) <1/2^(n+1) +1/2^(n+1) =1/2^n ,∀n∈N 

"Vì"  lim⁡〖1/2^n 〗=〖lim⁡(1/2)〗^n=0 

Từ đó suy ra lim⁡〖u_n 〗=0. 

"Bài 2. Chứng minh:  a)" u_n=(2n+3)/(4n+5)=1/2 

...