Đáp án Toán 11 kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số (P1)

BÀI 15. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là...

Đáp án:

Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

1. a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là .

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

1. b) Khoảng cách từ đến 0 là .

Ta có:

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ  đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Bài 2: Chứng minh rằng...

Đáp án:

Xét dãy số  có

Ta có:

 ;

Do đó, .

Bài 3: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn...

Đáp án:

Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

Ta có:

Do đó

Bài 4: Cho dãy số...

Đáp án:

Ta có:

 khi  

Do vậy .

Bài 5: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m...

Đáp án:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao  xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là: 

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

Và cứ tiếp tục như vậy…

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là

Ta có: , do đó,  

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn...

Đáp án:

+) Ta có:

Lại có:

 khi

Do vậy,

+) Ta có:  khi

 Do vậy ,

Và  khi

Do vậy,

Khi đó,

Vậy

Bài 2: Tìm...

Đáp án:

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Bài 1: Làm quen với việc tính tổng vô hạn...

Đáp án:

1. a) Ta có: là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó .

Cứ tiếp tục như vậy, ta được: ,….

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội

Do đó, tổng của n số hạng đầu là:

1. b) Ta có:

Bài 2: Tính tổng...

Đáp án:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với  và .

Do đó,

Bài 3: (Giải thích nghịch lí Zeno)...

Đáp án:

Ta có: Achilles chạy với vận tốc , vận tốc của rùa là .

1. a)

+ Để chạy hết quãng đường từ  đến  với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian  này, rùa đã chạy được quãng đường .

+ Để chạy quãng đường  đến  với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian  này, rùa đã chạy được quãng đường

+ Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ  đến  với , Achilles phải mất thời gian .

1. b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết quãng đường tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

(h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có  và .

Ta có:  (giờ)

1. c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.