Nhận biết khái niệm giới hạn của dãy số.
Giải thích một số giới hạn cơ bản.
Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
Tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn giả định hoặc liên quan đến thực tiễn.

2. Năng lực

Năng lực chung:

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá.
Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm.
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:

Tư duy và lập luận toán học: Sử dụng tư duy toán học để hiểu, giải thích và áp dụng khái niệm về giới hạn của dãy số.
Giao tiếp toán học: HS phải diễn đạt ý tưởng, quy tắc và phương pháp tính toán liên quan đến giới hạn một cách dễ hiểu và logic.
Mô hình hóa toán học: HS phải biểu diễn các dãy số dưới dạng biểu thức toán học, áp dụng quy tắc và phương pháp tính toán để tìm giới hạn trong các bài toán thực tế.
Giải quyết vấn đề toán học: HS áp dụng các quy tắc, định lí, công thức và phương pháp tính toán để xác định giới hạn của dãy số trong bài toán thực tế.

Năng lực số:

1.1.NC1b: Áp dụng được kỹ thuật tìm kiếm để lấy được dữ liệu, thông tin và nội dung trong môi trường số.
2.1.NC1a: Sử dụng được nhiều công nghệ số để tương tác.
5.2.NC1b: Áp dụng được các công cụ số khác nhau và các giải pháp công nghệ có thể có để giải quyết vấn đề.
6.2.NC1a: Lựa chọn và sử dụng được các công cụ AI phù hợp để nâng cao hiệu suất và giải quyết các vấn đề phức tạp.

3. Phẩm chất

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.
Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

GV: KHBD, SGK, SBT Toán 11, bài trình chiếu (Slide), phòng thực hành máy tính kết nối Internet, máy chiếu, video AI tạo bằng công cụ AI được dùng để khởi động bài học, bộ câu hỏi trắc nghiệm trên phần mềm Quizizz.
HS: SGK, SBT Toán 11 – Kết nối tri thức, vở ghi.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

…………………………………………..

2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

TIẾT 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ;

ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Hoạt động 1: Giới hạn của dãy số

a) Mục tiêu:

- HS nhận biết và phát biểu được dãy số có giới hạn là 0 và dãy số có giới hạn là số thực a.

- HS sử dụng được các công thức giới hạn của dãy số để xử lí được các bài tập, ví dụ có trong bài.

b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện HĐ1; Luyện tập 1,2 và các Ví dụ.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS nắm được phát biểu được dãy số có giới hạn là 0 và dãy số có giới hạn là số thực a.

d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

- GV cho HS quan sát HĐ1 và suy nghĩ trả lời.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số và biểu diễn trên trục số.

+ GV đặt câu hỏi: Khoảng cách từ một số a bất kì đến số được gọi là gì của ?

(Giá trị tuyệt đối của số )

+ Lấy từ đó ta tính được n.

- GV có thể ví dụ thêm cho HS trả lời:

Nếu cho thì giá trị của sẽ bằng bao nhiêu? Nếu biểu diễn trên trục số thì giá trị đó như thế nào với số 0?

(gần tiến tới 0).

Từ đó GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức trọng tâm cho HS quan sát và ghi bài.

- GV cho HS đọc – hiểu phần Ví dụ 1 và yêu cầu HS trình bày lại cách thực hiện.

- GV lưu ý cho HS về kết quả của những giới hạn từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 theo SGK.

- GV triển khai Luyện tập 1 và cho HS thảo luận với bạn cùng bàn để suy nghĩ cách làm và trình bày kết quả.

+ GV gợi ý:

Xét

Ta có khi

Nhiệm vụ 2: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

- GV triển khai HĐ2 và cho HS thực hiện tính toán.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng thực hiện biến đổi, tính toán từ

+ Từ đó tính lim của với

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thực trọng tâm cho HS.

- HS thực hiện Ví dụ 2 và trình bày vào vở từ đó HS khái quát lại: khi nào thì ?

- GV chính xác hóa đáp án bằng cách nêu phần Chú ý cho HS.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện Luyện tập 2.

+ GV yêu cầu 1 bạn bên bảng trình bày bài giải.

+ Các HS khác làm bài vào vở. GV đi kiểm tra một số HS làm bài và hỗ trợ nếu cần.

- GV triển khai Vận dụng 1 cho HS thảo luận nhóm 4 người theo phương pháp khăn trải bàn để thực hiện bài tập này.

+ GV gợi ý: Theo giải thiết, với ta có ,……

Từ đó, khi

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Dãy số có giới hạn là 0 và dãy số có giới hạn là số thực a.

1. Giới hạn của dãy số

HĐ1. Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là:

kenhhoctap

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

kenhhoctap

b) Khoảng cách từ đến 0 là .

Ta có:

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Khái niệm

Ta nói dãy số có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi .

Ví dụ 1: (SGK – tr.105).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.105).

Chú ý

Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết quả như sau:

+ với k là một số nguyên dương.

+ nếu

+ Nếu với mọi và thì .

Luyện tập 1

Xét dãy số có

Ta có:

;

Do đó, .

HĐ2. Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

Ta có:

Do đó

Định nghĩa

Ta nói dãy số có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu , kí hiệu hay khi .

Ví dụ 2: (SGK – tr.106).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.106).

Chú ý

- khi và chỉ khi

- Nếu (c là hằng số) thì

Luyện tập 2

Ta có:

khi

Do vậy .

Vận dụng

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

kenhhoctap

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

kenhhoctap

Và cứ tiếp tục như vậy…

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là

Ta có: , do đó,

Hoạt động 2: Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a) Mục tiêu:

- Học sinh hình thành quy tắc tính giới hạn.

- Học sinh nắm được các công thức tính giới hạn và áp dụng vào các bài tập, ví dụ có trong bài.

b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện HĐ3; Luyện tập 3 và các Ví dụ.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS nắm được các công thức tính giới hạn và áp dụng vào các bài tập, ví dụ có trong bài.

d) Tổ chức thực hiện:

…………………………………………..

TIẾT 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN.

GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

Hoạt động 3: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

a) Mục tiêu:

- Học sinh nắm được và phát biểu được khái niệm của cấp số nhân lùi vô hạn.

- Học sinh nắm được công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và áp dụng được công thức để tính toán các bài toán, các ví dụ có trong bài.

b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý nghe giảng, thực hiện hoạt động, trả lời câu hỏi, làm HĐ4, Luyện tập 4, Vận dụng 2 và các Ví dụ.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS nhận biết được khái niệm của cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

d) Tổ chức thực hiện:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai phần HĐ4 cho HS tìm hiểu, làm quen với việc tính tổng vô hạn.

GV gợi ý:

+ Vì hình vuông có cạnh 1 được chia thành 4 hình vuông bằng nhau nên , cứ tiếp tục thực hiện thì Nếu cứ tiếp tục tính thì bằng bao nhiêu?

+ Từ đó ta biết được số hạng đầu và công bội q.

+ GV chỉ định 1 HS nhắc lại công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân. Từ đó áp dụng tính tổng .

+ GV thực hiện tính toán lên bảng và giảng cách thực hiện phần b cho HS.

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu phần nội dung trọng tâm trong SGK cho HS ghi nhớ và ghi bài về tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

- GV cho HS thực hiện làm Ví dụ 4 theo SGK và yêu cầu HS nêu số hạng đầu và công bội của dãy S.

- HS thực hiện Ví dụ 5. GV hướng dẫn HS cách viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn theo hướng dẫn của SGK.

- GV triển khai cho HS thực hiện Luyện tập 4. GV mời 1 HS đứng tại chỗ tìm số hạng đầu và công bội .

+ HS tự thực hiện bài vào vở và nêu đáp án cho GV.

- GV cho HS thảo luận nhóm 5 HS để thực hiện Vận dụng 2

GV gợi ý:

Phần a, để chạy hết quãng đường từ đến thì Achilles mất bao nhiêu thời gian ? Trong khoảng thời gian đó thì rùa đã đi được quãng đường dài bao nhiêu ? Cứ như vậy để chạy hết quãng đường đến Achilles phải mất bao nhiêu thời gian?

Phần b, Tổng thời gian mà Achilles chạy hết quãng đường

có phải tổng của cấp số nhân lùi vô hạn không? Tìm số hạng đầu và công bội?

Phần c, GV yêu cầu một số HS nêu ý kiến về sự sai lầm của Zeno.

+ HS thảo luận làm bài và GV chỉ định một số HS lên bảng trình bày.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức:

+ Khái niệm của cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

HĐ4

kenhhoctap

a) Ta có: là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó .

Cứ tiếp tục như vậy, ta được: ,….

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội

Do đó, tổng của n số hạng đầu là:

kenhhoctap

b) Ta có:

Kết luận

- Cấp số nhân vô hạn có công bội với được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

- Cho cấp số nhân lùi vô hạn với công bội . Khi đó

kenhhoctap

Vì nên khi . Nên:

- Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn , và kí hiệu là:

Như vậy

Ví dụ 4: (SGK – tr.107)

Hướng dẫn giải (SGK -tr.107)

Ví dụ 5: (SGK – tr.108)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.108)

Luyện tập 4

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với và .

Do đó,

Vận dụng 2

Ta có: Achilles chạy với vận tốc , vận tốc của rùa là .

+ Để chạy hết quãng đường từ đến với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian này, rùa đã chạy được quãng đường .

+ Để chạy quãng đường đến với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian này, rùa đã chạy được quãng đường

+ Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ đến với , Achilles phải mất thời gian .

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết quãng đường tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

(h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có và .

Ta có: (giờ)

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

Hoạt động 4: Giới hạn vô cực của dãy số

a) Mục tiêu:

- Học sinh nắm được khái niệm giới hạn và của một dãy số.

- Học sinh nắm được các quy tắc tính giới hạn vô cực của một dãy số.

- Áp dụng được công thức, quy tắc để tính toán các bài toán, các ví dụ có trong bài.

b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý nghe giảng, thực hiện hoạt động, trả lời câu hỏi, làm HĐ5, Luyện tập 5, và các Ví dụ.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS nhận biết được khái niệm giới hạn và của một dãy số và các quy tắc tính giới hạn vô cực của một dãy số.