Giáo án điện tử Toán 11 kết nối Bài 15: Giới hạn của dãy số

CHÀO MỪNG TẤT CẢ CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Nghịch lý Zeno

Achilles (nhân vật trong thần thoại Hy Lạp, được mô tả có thể chạy nhanh như gió) đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Vị trí xuất phát của Achilles là ,     cách vị trí xuất phát  của rùa một quãng đường có chiều dài là a. Zeno lí luận rằng, mặc dù chạy nhanh hơn nhưng Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Thật vậy, trước tiên Achilles phải đến được vị trí  trong khoảng thời gian này, rùa đã di chuyển đến vị trí . Sau đó, Achilles phải đến được vị trí , lúc này rùa đã di chuyển đến vị trí  Cứ như vậy, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

CHƯƠNG V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC

Giới hạn của dãy số

Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Giới hạn vô cực của dãy số

01 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

HĐ1

Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

Cho dãy số  với 

1. a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
2. b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Trả lời:

1. a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

.

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

1. b) Khoảng cách từ đến 0 là .

Ta có:

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ  đến 0 nhỏ hơn 0,01.

KHÁI NIỆM

Ta nói dãy số  có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu  có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu  hay  khi .

Ví dụ 1:

Xét dãy số  với . Giải thích vì sao dãy số này có giới hạn là 0. 

Giải

Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì  có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý khi  đủ lớn.

Chẳng hạn, để  tức là , ta cần  hay .

Như vậy các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 101 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn .

Chú ý

Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết quả như sau:

• với k là một số nguyên dương.
• nếu
• Nếu với mọi  và  thì  .

LUYỆN TẬP 1

Chứng minh rằng

Giải

Xét dãy số  có

Ta có:

 ;

Do đó, .

HĐ2

Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn

Cho dãy số  với  . Xét dãy số  xác định bởi .

Tính 

Trả lời:

Ta có:  

Do đó

ĐỊNH NGHĨA

Ta nói dãy số  có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu , kí hiệu  hay  khi .

Ví dụ 2:

Xét dãy số  với  Chứng minh rằng.  

Giải

Ta có

 khi  

Do vậy

.  

Chú ý

• khi và chỉ khi
• Nếu (c là hằng số) thì

LUYỆN TẬP 2

Cho dãy số với   . Chứng minh rằng 

Giải

Ta có:

  khi  

Do vậy .

VẬN DỤNG 1

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng  độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử  là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ . Chứng minh rằng dãy số  có giới hạn là 0.

Giải

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao  xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

Và cứ tiếp tục như vậy…

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là

Ta có: , do đó,  

02 ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

HĐ3

Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số  và  với 

Tính và so sánh:  và

Trả lời: