Định nghĩa: Cho khoảng chứa điểm và hàm số xác định trên . Ta nói hàm số có giới hạn là số thực khi dần tới nếu với mọi dãy số trong mà , ta đều có .
Kí hiệu: .
Giới hạn đặc biệt: ; (với là hằng số).

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

Nếu và ():

Tổng/Hiệu:
Tích:
Thương: (với )
Căn thức: Nếu thì và

3. Giới hạn một bên

Giới hạn bên phải: dần đến nhưng luôn lớn hơn . Kí hiệu: .
Giới hạn bên trái: dần đến nhưng luôn nhỏ hơn . Kí hiệu: .
Điều kiện tồn tại giới hạn:

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa:
- Ta nói hàm số có giới hạn là số thực khi nếu với mọi dãy số mà , ta đều có . Kí hiệu: .
- Định nghĩa tương tự cho .
Giới hạn cơ bản: (với là hằng số, là số nguyên dương).

5. Giới hạn vô cực của hàm số

Giới hạn vô cực tại một điểm: hoặc .
Giới hạn vô cực tại vô cực: hoặc .
Quy tắc về giới hạn tích/thương: Kết quả phụ thuộc vào dấu của các thừa số (áp dụng tương tự như quy tắc giới hạn của dãy số).

Ví dụ tiêu biểu: Tính giới hạn của hàm số .

Giải: Đây là dạng vô định . Ta phân tích tử số thành nhân tử để triệt tiêu đại lượng làm tử và mẫu bằng :

Áp dụng phép toán giới hạn:

II. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Định nghĩa qua dãy số: Bản chất của giới hạn hàm số được xây dựng dựa trên giới hạn của dãy số .
Định lý về các phép toán: Cho phép tính giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số khi biết trước giới hạn hữu hạn của từng hàm thành phần.
Điều kiện tồn tại giới hạn tại một điểm: Giới hạn tồn tại khi và chỉ khi hai giới hạn một bên (trái và phải) cùng tồn tại và bằng nhau.
Kỹ thuật khử dạng vô định : Phổ biến nhất là phân tích đa thức thành nhân tử để rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu trước khi thế số.
Tính giới hạn tại vô cực (): Sử dụng phương pháp rút lũy thừa bậc cao nhất của biến ra làm nhân tử chung ở cả tử và mẫu (áp dụng quy tắc ).

III. BỐ CỤC SLIDE PPTX

SLIDE 1: Tiêu đề
- Tiêu đề: Bài 16: Giới hạn của hàm số.
- Nội dung: Tên giáo viên, bộ môn Toán lớp 11.
SLIDE 2: Giới hạn hữu hạn tại một điểm
- Tiêu đề: Khái niệm Giới hạn tại một điểm.
- Nội dung: Định nghĩa thông qua giới hạn dãy số; Ký hiệu toán học; Các giới hạn cơ bản của biến và hằng số .
SLIDE 3: Các phép toán giới hạn hữu hạn
- Tiêu đề: Quy tắc tính giới hạn hàm số.
- Nội dung: Công thức tính tổng, hiệu, tích, thương, căn thức của giới hạn khi .
SLIDE 4: Giới hạn một bên
- Tiêu đề: Giới hạn bên trái & Giới hạn bên phải.
- Nội dung: Định nghĩa ký hiệu và ; Điều kiện cần và đủ để hàm số có giới hạn tại một điểm.
SLIDE 5: Giới hạn tại vô cực & Giới hạn vô cực
- Tiêu đề: Giới hạn liên quan đến vô cực.
- Nội dung: Định nghĩa giới hạn tại vô cực () và giới hạn vô cực (); Các công thức cơ bản chứa .
SLIDE 6: Phương pháp khử dạng vô định
- Tiêu đề: Phương pháp phân tích nhân tử.
- Nội dung: Các bước xử lý khi thế trực tiếp vào phân thức ra dạng . Minh họa bằng sơ đồ biến đổi rút gọn nhân tử chung.
SLIDE 7: Ví dụ minh họa
- Tiêu đề: Ví dụ thực hành trực quan.
- Nội dung: Trình bày chi tiết từng bước giải của ví dụ tính .
SLIDE 8: Tổng kết bài học
- Tiêu đề: Sơ đồ tư duy nhanh.
- Nội dung: Phân loại nhanh các dạng toán giới hạn hàm số và phương pháp giải tương ứng (Dạng thế số trực tiếp, dạng vô định , dạng vô cực ).