Giáo án điện tử Toán 11 kết nối Bài 16: Giới hạn của hàm số

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BUỔI HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật       chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức

Trong đó  là khối lượng của vật khi nó đứng yên,  là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

CHƯƠNG V. GIỚI HẠN.

HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 16: GIỚI HẠN

CỦA HÀM SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC

Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

01 GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂMHĐ 1:

HĐ 1:

Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số 

1. a) Tìm tập xác định của hàm số .
2. b) Cho dãy số . Rút gọn và tính giới hạn của dãy  với .
3. c) Với dãy số bất kì sao cho và , tính  và tìm .

Trả lời:

1. a) Biểu thức có nghĩa khi

Do đó, tập xác định của hàm số  là .

1. b) Ta có:

1. c) Ta có:

Vì  và  với mọi  nên

Do đó, .

KHÁI NIỆM

Giả sử  là một khoảng chứa điểm  và hàm số            xác định trên khoảng có thể trừ điểm .       Ta nói hàm số  có giới hạn là số L khi  dần tới  nếu với dãy số  bất kì, ,  và        , ta có , kí hiệu  hay  khi .

Ví dụ 1

Cho hàm số                        . Chứng tỏ rằng

Giải:

Lấy dãy số  bất kì sao cho  và . Ta có

Do đó

Vậy

QUY TẮC

1. a) Nếu và thì:

1. b) Nếu với mọi và  thì  và .

Chú ý:

+)  với  là hằng số.   +)  với .

Ví dụ 2

Cho  và . Tính các giới hạn sau:

Giải:

Ta có . Mặt khác, ta thấy

1. a) Ta có

Ta có . Mặt khác, ta thấy

1. b) Ta có

Ví dụ 3

Tính

Giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi  nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Chú ý rằng

Do đó 

LUYỆN TẬP 1

Tính

Giải

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi  nên ta không thể áp dụng trực tiếp quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Ta có:

Do đó

HĐ 2:

Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Cho hàm số 

1. a) Cho và Tính  và .  
2. b) Tìm giới hạn của các dãy số và .
3. c) Cho các dãy số và bất kì sao cho  và , tính  và

Trả lời

1. a) Ta có: với mọi  với mọi .

Do đó,

Ta cũng có:  với mọi    với mọi .

Do đó,

1. b) Ta có

1. c) Ta có

Vì , suy ra  và  với mọi .

Do đó,  và

Vậy  và .

KHÁI NIỆM

• Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói số  là giới hạn bên phải của  khi  nếu với dãy số  bất kì thỏa mãn  và , ta có , kiếu hiệu .
• Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói số  là giới hạn bên trái của  khi  nếu với dãy số  bất kì     thỏa mãn  và , ta có , kí hiệu .

Ví dụ 4

Cho hàm số

Tính  và  

Giải:

Với dãy số  bất kì sao cho  và , ta có

Do đó

Tương tự, với dãy số  bất kì mà  ta có , cho nên .

Chú ý

 khi và chỉ khi

LUYỆN TẬP 2