Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 3 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

CHƯƠNG III. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BÀI 5. HAI DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG f(x)=g(x) (I)

(f(x) = ax2 + bx + c và g(x) = mx2 + nx + p với am, a hoặc m có thể bằng 0).

Để giải phương trình (I), ta làm như sau:

Bước 1. Bình phương hai vế của (I) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) rồi tìm nghiệm của phương trình này. 

Bước 2. Thay từng nghiệm của phương trình f(x) = g(x) vào bất phương trình f(x) 0 (hoặc g(x) 0). Nghiệm nào thoả mãn bất phương trình đó thì giữ lại, nghiệm nào không thoả mãn thì loại đi. 

Bước 3. Trên cơ sở những nghiệm giữ lại ở Bước 2, ta kết luận nghiệm của phương trình (I).

Chú ý:

+ Trong hai bất phương trình f(x) 0 và g(x) 0, ta thường chọn bất phương trình có dạng đơn giản hơn để thực hiện Bước 2.

+ Người ta thường chứng minh được rằng tập hợp (số thực) giữ lại ở Bước 2 chính là tập nghiệm của phương trình (I). 

Ví dụ 1, 2 (SGK – tr57)

Luyện tập 1: 

3x2-4x+1=x2+x-1 (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được: 

3x2-4x+1=x2+x-1

⟺ 2x2 – 5x + 2 = 0

⟺ x = 2 hoặc x = 12

Thay lần lượt 2 giá trị x = 2 và x = 12 vào x2+x-1 0 ta thấy chỉ có x = 2 thoả mãn bất phương trình. 

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho. 

II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG fx=gx (II)

(f(x) = ax2 + bx + c và g(x) = dx + e với ad2, a hoặc d có thể bằng 0). 

Để giải phương trình (II), ta làm như sau:

Bước 1: Giải bất phương trình g(x) 0 để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. 

Bước 2: Bình phương hai vế của (II) dẫn đến phương trình f(x) = [gx]2 rồi tìm nghiệm của phương trình đó. 

Bước 3: Trong những nghiệm của phương trình f(x) = [gx]2, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình gx≥0. Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình (II).

Ví dụ 3(SGK – tr57-58)

Luyện tập 2:

3x-5=x-1 (1)

Ta có x-1≥0⇔x≥1 (2)

Bình phương hai vế của (1) ta được 3x-5=x2-2x+1⇔-x2+5x-6=0

[x=2 x=3

Hai giá trị đều thỏa mãn (2)

Vậy phương trình có nghiệm {2;3}.

Ví dụ 4 (SGK – tr57-58)