Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 3 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

CHƯƠNG III. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

HĐ1:

3x2 – 4x – 8 < 0

Ta thấy vế trái của bất phương trình đã cho là một tam thức bậc hai có hệ số a = 3 > 0, b = -4, c = -8. 

Kết luận: 

+ Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng sau: ax2 + bx + c < 0; ax2 + bx + c 0; ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c 0, trong đó a, b, c là các số thực đã cho, a 0. 

+ Đối với bất phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c < 0, mỗi số x0 R sao cho ax2 + bx + c < 0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó. 

Tập hợp các nghiệm x0 như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho. 

Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được định nghĩa tương tự. 

Ví dụ 1 (SGK – tr49)

Chú ý: 

Giải bất phương trình bậc hai ẩn x là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. 

Luyện tập 1:  

1. x2 – 2x + 4 > 0 và –x2 + 6x – 5 0
2. 4x – 9 > 0 và -5x + y 8

II. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai 

HĐ2: 

4. Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – 2, có ∆ = (-1)2 -4.1.(-2) = 9 > 0. 

f(x) có hai nghiệm phân biệt là x1 = -2, x2 = 1. 

Lại có: a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu: 

2. Từ bảng xét dấu ở trên ta thấy f(x) > 0 x > -1 hoặc x < -2. 

Nhận xét: 

Để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng f(x) > 0 (f(x) = ax2 + bx + c), ta chuyển việc giải bất phương trình đó về việc tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”. Cụ thể, ta làm như sau: 

Bước 1: Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có). 

Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”

Chú ý: 

Các bất phương trình bậc hai có dạng f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0 được giải bằng cách tương tự. 

Ví dụ 2 (SGK – tr50) 

Luyện tập 2:

1. 3x2 – 2x + 4 0 

Xét tam thức bậc hai 3x2 – 2x + 4 có ∆ = -44 < 0 và hệ số a = 3 > 0 nên 3x2 – 2x + 4 > 0 với x ∈ R.

Vậy bất phương trình 3x2 – 2x + 4 0 vô nghiệm. 

1. –x2 + 6x – 9 0

Xét tam thức bậc hai –x2 + 6x – 9  có ∆ = 0 và hệ số a = -1 < 0 nên –x2 + 6x – 9 < 0 với x ∈ R\{3}. 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình –x2 + 6x – 9 0 là {3}.

2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng đồ thị

HĐ3: 

1. Từ đồ thị ta thấy bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm ở phía trên trục hoành. 
2. Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với các giá trị của x thuộc (-;1) (3;+ ∞).

Nhận xét: 

+ Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0 là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol y = ax2 + bx + c nằm phía trên trục hoành. 

+ Tương tự, giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 là tìm tập hợp những giá trị của x tương ứng với phần parabol y = ax2 + bx + c nằm phía dưới trục hoành. 

Như vậy, để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng f(x) > 0 (f(x) = ax2 + bx + c) bằng cách sử dụng đồ thị, ta có thể làm như sau: 

Dựa vào parabol y = ax2 + bx + c, ta tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol đó nằm phía trên trục hoành. Đối với các bất phương trình bậc hai có dạng  f(x) < 0, f(x) 0, ta cũng làm tương tự. 

Ví dụ 3 (SGK – tr 51) 

Luyện tập 3: 

1. Ta có đồ thị:

Từ đồ thị ta thấy x2 + 2x + 2 > 0 biểu diễn phần parabol x2 + 2x + 2 = 0 nằm phía trên trục hoành, tương ứng với x ∈ R

Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là R

Ta có đồ thị: 

Từ đồ thị ta thấy -3x2 + 2x – 1 > 0 biểu diễn phần parabol nằm phía trên trục hoành, những đồ thị -3x2 + 2x – 1 nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. 

Vậy bất phương trình trên vô nghiệm.

III. ỨNG DỤNG CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Ví dụ 4, 5, 6 (SGK – tr52-53)

Luyện tập 4: 

Theo đầu bài, ta có tổng doanh thu là 170Q nghìn đồng. 

Tổng lợi nhuận là 170Q – (Q2 + 30Q + 3300) = -Q2 + 140Q – 3300 0 

Để đảm bảo có lãi thì -Q2 + 140Q – 3300 > 0 

-Q2 + 140Q – 3300 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 = 30, x2 = 110 và a = -1 < 0. 

Nghiệm của bất phương trình

-Q2 + 140Q – 3300 > 0 là 30 < x < 110.

Vậy để có lãi thì số sản phẩm được sản xuất phải lớn hơn 30 và nhỏ hơn 100.