Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 4 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

CHƯƠNG IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. 

VEC TƠ

BÀI 5. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

I. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1: 

Do B là trung điểm của AC nên AB=BC. Khi đó ta có: AC=AB+BC=AB+ AB.

HĐ2: 

Vectơ 2AB cùng hướng với AB và 2AB=2AB

Kết luận:

Cho số thực k 0 và vectơ a0. Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka, được xác định như sau:

+ Cùng hướng với vectơ a nếu k > 0, ngược hướng với vectơ a nếu k < 0

+ Có độ dài bằng k.a

Quy ước:

1. a = 0, k0 = 0

Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân số với vectơ.

Ví dụ 1 (SGK – tr89)

Luyện tập 1: 

+ Ta có: AG, AM là hai vectơ cùng hướng và AG=23AM AG=23AM. Vậy a = 23

+ Ta có: GN, GB là hai vectơ ngược hướng và GN=12GBGN=-12GB. Vậy b = -12.

Ví dụ 2 (SGK -tr89)

II. TÍNH CHẤT

Với hai vectơ bất kì a,b và hai số thực h, k, ta có:

• k(a+b)=ka+kb; k(a-b ) = ka - kb;

• (h + k) a = ha + ka

• h(ka)=(hk)a;

• 1a=a;-1a=-a       

Nhận xét: k0 = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a=0.

Ví dụ 3 (SGK – tr89)

Luyện tập 2:

3(AB+2BC)-2AB+3BC=3AB-2AB+6BC-6BC=AB(đpcm)

III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1. Trung điểm của đoạn thẳng

HĐ3:

I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên IA+ IB=0.

MA+MB=(MI+IA)+(MI+ IB)=2MI

Kết luận: 

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA+MB=2MI với điểm M bất kì

2. Trọng tâm của tam giác

HĐ4:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA+ GB+GC=0

MA+MB+MC=MG+GA+MG+GB+MG+GC=3MG+(GA+GB+GC)=3MG

Kết luận: 

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC MA+MB+MC=3MG với điểm M tuỳ ý.

Ví dụ 4 (SGK – tr90) 

Luyện tập 3:

Ta có:

AB+AC=AG+GB+AG+GC=2AG+GB+GC=3AG+GA+ GB+GC=3AG đpcm. 

3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

HĐ5: 

Ta có a=kb với k là số thực khác 0, hai vectơ a và b khác 0.

Khi đó hai vectơ a và b cùng phương.  

Kết luận:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b b≠0 cùng phương là có một số thực k để a=kb.

HĐ6:

1. Nếu A, B, C thẳng hàng thì đường thẳng AB trùng đường thẳng AC, do đó hai vectơ AB và AC cùng phương.
2. Nếu hai vectơ AB và ACcùng phương thì đường thẳng AB trùng đường thẳng AC, do đó ba điểm A, B, C có thẳng hàng.

Kết luận:

Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để AB=kAC.

Ví dụ 5 (SGK – tr91)

Luyện tập 4:

1. Từ hình vẽ, AC = 34AD

AC=34AD (Hai vectơ cùng hướng)

⇒k=34

1. Từ hình vẽ, BD = 3CD

BD=-3DC (Hai vectơ ngược hướng)

⇒k=-3

Nhận xét: 

Trong mặt phẳng, cho hai vectơ a và b không cùng phương. Với mỗi vectơ c có duy nhất cặp số (x ; y) thoả mãn c=xa+yb.