Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 3 Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

CHƯƠNG III. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

I. HÀM SỐ BẬC HAI

HĐ1:

1. Ta có:

y = -0,00188(x – 251,5)2 + 188

y = -0,00188.(x2 -503x + 63252,25) + 118

y = -0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423

2. Bậc của đa thức trên bằng 2.
3. Hệ số của x2 là -0,00188

Hệ số của x là 0,94564

Hệ số tự do là -0,91423.

Kết luận:
Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng y = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hằng số và a khác 0. Tập xác định của hàm số là R

Ví dụ 1 (SGK – tr39)

Luyện tập 1:

Ví dụ 1: y = 3x2 – 4x + 2

Ví dụ 2: y = -5x2 + 1

II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

HĐ2:

1. x = -3 y = 0

x = -2 y = -3

x = -1 y = -4

x = -0 y = -3

x = -1 y = 0

1. Vẽ các điểm lên mặt phẳng toạ độ
2. Vẽ đường cong parabol
3. Từ đồ thị ta thấy: 

Điểm thấp nhất: C (-4;-1)

Phương trình trục đối xứng là x = -1

Đồ thị có bề lõm lên trên. 

HĐ3:

1. x = -1 y = 0

x = 0 y = 3

x = 1 y = 4

x = 2 y = 3

x = 3 y = 0

1. Vẽ đồ thị: 
2. Điểm cao nhất là điểm I(1;4) 

Phương trình trục đối xứng là đường thẳng x = 1

Đồ thị hàm số đó quay bề lõm xuống dưới.

Kết luận: 

Đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (a0) là một đường parabol có đỉnh là điểm với toạ độ -b2a;-∆4a và trục đối xứng là đường thẳng x = -b2a

Nhận xét: 

- Cho hàm số f(x) = ax2 + bx + c (a≠0), ta có: -∆4a=f-b2a.

- Để vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a≠0), ta thực hiện các bước: 

+ Xác định toạ độ đỉnh: -b2a;-∆4a 

+ Vẽ trục đối xứng x = -b2a;

+ Xác định một số điểm đặc biệt, chẳng hạn: giao điểm với trục tung (có toạ độ (0;c)) và trục hoành (nếu có), điểm đối xứng với điểm có toạ độ (0;c) qua trục đối xứng x = -b2a

+ Vẽ đường parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.

Chú ý: Nếu a > 0 thì parabol có bề lõm quay lên trên, nếu a < 0 thì parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Ví dụ 2 (SGK – tr41)

Luyện tập 2:

1. y = x2 – 4x - 3 

Ta có: ∆ = (-4)2 – 4.1.(-3) = 28

Toạ độ đỉnh I (2;-7)

Trục đối xứng x = 2

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-3).

Điểm đối xứng với điểm (0;-3) qua trục đối xứng x = 2 là (4;-3)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thì hàm số: 

1. y = x2 + 2x + 1

Ta có: ∆ = 22 – 4.1.1 = 0

Toạ độ đỉnh I(-1;0)

Trục đối xứng x = -1

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;1)

Giao điểm của parabol với trục hoành là (-1;0)

Điểm đối xứng với điểm A(0;1) qua trục đối xứng x = -1 là B(-2;1)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

1. y = -x2 – 2

Ta có: ∆ = 02 – 4.(-1).(-2) = -8.

Toạ độ đỉnh I(0;-2)

Trục đối xứng là x = 0

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-2)

x = 1 y = -3 Điểm (1;-3) thuộc dồ thị. Điểm đối xứng của nó qua trục đối xứng x = 0 là điểm (-1;-3)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số: 

HĐ4:

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

+ Đồ thị hàm số đi xuống trong khoảng (-; -1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-; -1).

+ Đồ thị hàm số đi lên trong khoảng (-1; +) nên hàm số đồnng biến trên khoảng (-1; +).

Ta có bảng biến thiên: 

Từ đồ thị hàm số ta thấy: 

+ Đồ thị hàm số đi lên trong khoảng (-; 1) nên hàm số đồng biến trên khoảng (-; 1).

+ Đồ thi hàm số đi xuống trong khoảng (-1; +) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +). 

Ta có bảng biến thiên:

Nhận xét: 

Cho hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (a0)

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng -∞;-b2a; đồng biến trên khoảng  -b2a;+∞. 

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng -∞;-b2a; nghịch biến trên khoảng  -b2a;+∞

Ta có bảng biến thiên của hàm bậc hai như sau: 

Ví dụ 3 (SGK – tr42)

Luyện tập 3: 

1. y = x2 – 3x + 4

a = 1 > 0, b = -3, c = 4, ∆ = -7, -b2a = 32 , -∆4a = 74

  Hàm số nghịch biến trên khoảng (-; 32) và đồng biến trên (32;+)

1. y = -2x2 + 5

a = -2 < 0, b = 0, c = 5, ∆ = 40, -b2a = 0, -∆4a = 5.

Hàm số đồng biến trên khoảng (-;0) và nghịch biến trên (0;+)

Ta có bảng biến thiên: 

III. ỨNG DỤNG 

Ví dụ 4 (SGK – tr42) 

Luyện tập 4:

y = -0,00188(x – 251,5)2 + 118

Ta có: (x – 251,5)2 0

⟺ -0,00188(x – 251,5)2 0

⟺ -0,00188(x – 251,5)2 + 118 118

Vậy ymax = 118 (m).