Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 4 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

CHƯƠNG IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. 

VEC TƠ

BÀI 4. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

I. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

1. Định nghĩa

HĐ1:

1. Vectơ dịch chuyển của vật từ A đến B là AB và từ B đến C là BC.
2. Vectơ dịch chuyển tổng hợp của vật là AC.

Kết luận: 

Với ba điểm bất kì A, B, C, vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ  AB và  BC, kí hiệu là  AC =  AB +  BC

HĐ2:

1. Lấy điểm A bất kì, qua A vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ a, trên đường thẳng này về phía cùng hướng với vectơ a, lấy điểm B sao cho AB=a.

Tương tự, lấy điểm C sao cho BC=b.

Vậy ta có AB=a, BC=b

1. Tổng của hai vectơ a và b bằng vectơ  AC

Kết luận:

Cho hai vectơ a, b. Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ  AB=  a, BC= b. Vectơ  AC được gọi là tổng của hai vectơ  a và  b, kí hiệu  AC =  a +  b.

Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Ví dụ 1 (SGK – tr83) 

Luyện tập 1:

Ta có: 

P là trung điểm của AB nên PB = AP 

Do P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của ABC ⟹ PN = BC2 = MC và PN // MC

⟹ PN = MC.

2. Quy tắc hình bình hành

HĐ3:

1. ABCD là hình bình hành nên AD//BC và AD = BC

Vậy AD=BC

1. Ta có: AB+AD=AB+BC=AC.

Kết luận:

Nếu ABCD là hình bình hành thì 

AB+AD=AC

Ví dụ 2 (SGK – tr84)

Luyện tập 2:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: 

F=F1+F2

Tổng của hai hợp lực F1 và F2 làm thuyền chuyển động theo hướng của vectơ F.

3. Tính chất

Với ba vectơ tùy ý a,b,c ta có:

+ a+b=b+a (tính chất giao hoán);

+ a+b+c=a+b+c (tính chất kết hợp);

+ a+0=0+a=a (tính chất của vectơ-không).

Chú ý: 

Tổng ba vectơ a+b+c được xác định theo một trong hai cách: 

(a+b) + c hoặc a+(b+c).

Ví dụ 3 (SGK – tr85)

Luyện tập 3:

Ta có:

 AB + CE + AD 

= (AB + AD) + CE (tính chất giao hoán)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: AB + AD = AC

AB + CE + AD = AC + CE = AE (đpcm)

II. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1. Hai vectơ đối nhau

HĐ4:

1. Hai vectơ P1 và P2 cùng hướng và độ dài.
2. Hai vectơ F1 và F2 ngược hướng và cùng độ dài.

Kết luận:

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a được gọi là vectơ đối của vectơ a, kí hiệu là -a. Hai vectơ a và -a được gọi là hai vectơ đối nhau. 

Quy ước:

Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0.

Lưu ý:

BA=-AB

Nhận xét: 

• a + (-a) = (-a) + a = 0

• Hai vectơ a, b là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi a + b = 0.

• Với hai điểm A, B, ta có: AB+ BA=0.

Ví dụ 4 (SGK – tr85)

Chú ý: 

I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA+ IB=0.

Ví dụ 5 (SGK – tr86)

Chú ý:

G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA+ GB+GC=0.

2. Hiệu của hai vectơ

HĐ5: 

1. Lấy điểm M tuỳ ý, qua M vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ a, trên đường thẳng này về phía cùng hướng với vectơ a, lấy điểm A sao cho  MA=a.

Qua M, tiếp tục vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ b, trên đường thẳng này xét cùng hướng với vectơ b, lấy điểm B sao cho MB=b, xét ngược hướng với vectơ b, lấy điểm C sao cho MC=b.

Vậy ta được các vectơ MA=a, MB=b, MC=-b như hình vẽ. 

1. Tổng của hai vectơ a và (-b) bằng vectơ MN với N là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMCN.

Kết luận:

Hiệu của vectơ a và vectơ b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b, kí hiệu là a-b.

Ví dụ 6 (SGK -tr86)

Nhận xét: 

Với ba điểm O, B, A ta có: AB=OB-OA.

Ví dụ 7 (SGK – tr86)

Luyện tập 4: 

Ta có: N là trung điểm của BC nên NC = - NB

   CM-NB=CM-CN=NM

CM-NB=CM-CN=NM 

Vậy CM-NB=NM=12a