Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 3 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

CHƯƠNG III. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BÀI 3. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

I. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 

HĐ1:

Từ hình 17 ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x2 – 2x + 2 > 0 với mọi x R.

Từ hình ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = -x2 + 4x – 5 < 0 với mọi x R.  

1. Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x R.

Nhận xét: 

Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x R.

HĐ2:

Từ đồ thị ta thấy x2 + 2x + 1 > 0 x R\{-1}

Từ đồ thị ta thấy –x2 + 4x – 4 < 0 x R\{2}

1. Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với x R\-b2a

Nhận xét: Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với x R\-b2a

HĐ3:

Ta thấy: 

+ Trên các khoảng (-∞;2) và (-1;+∞) phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x2 +3x + 2 > 0 

+ Trên khoảng (-2;-1) phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x2 +3x + 2 < 0 

Ta thấy: 

+ Trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞) phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x2 + 4x – 3 < 0 

+ Trên khoảng (1;3) phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x2 + 4x – 3 > 0

Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (-∞;x1) và (x2;+∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x1; x2), trong đó x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x1 < x2. 

Nhận xét: 

Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (-∞;x1) và (x2;+∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x1;x2), trong đó x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x1 < x2. 

Kết luận: 

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a0), ∆ = b2 – 4ac.

+ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x R. 

+ Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x R \ -b2a

+ Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2). Khi đó: 

f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (-∞;x1) và (x2;+∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x1;x2).

Nhận xét: 

Trong định lí, có thể thay biệt thức ∆ = b2 – 4ac bằng biệt thức thu gọn ∆’ = (b’)2 – ac với b = 2b’

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1 (SGK – tr46) 

Luyện tập 1:

5. f(x) = -2x2 + 4x -5.

Ta có: ∆ = -24 < 0, a = -2 < 0 nên f(x) < 0 với x R.

9. f(x) = -x2 + 6x – 9.

Ta có: ∆ = 0, a = -1 < 0 nên f(x) < 0 với x R \ {3}.

Ví dụ 2 (SGK – tr46)

Luyện tập 2: 

Xét tam thức bậc hai f(x) = - x2 – 2x + 8 có hai nghiệm phân biệt x1 = -4, x2 = 2 và hệ số a = -1 < 0. 

Ta có bảng xét dấu: 

Ví dụ 3 (SGK – tr47)

Ví dụ 4 (SGK – tr47)