Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 4 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

CHƯƠNG IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. 

VEC TƠ

BÀI 2. GIẢI TAM GIÁC. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

I. GIẢI TAM GIÁC 

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.

HĐ1: 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC có:

BC2=AB2+AC2-2.AB.AC.cos A =c2+b2=2.b.c.cos

⇒BC=c2+b2-2bccos

Ví dụ 1 (SGK -tr72)

HĐ2: 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

cos A =b2+c2-a22bc

Ví dụ 2 (SGK -tr73)

HĐ3: 

A=180o-(B+C)=180o-(α+β)

sin A =sin ( α+β)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

BCsin A =ACsin B =ABsin C =2R

asin ( α+β)=ACsin =ABsin =2R

⇒AC=a.sin sin ( α+β);AB=a.sin sin ( α+β)

Ví dụ 3 (SGK -tr73)

II. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

HĐ4 (SGK -tr74)

Kết luận:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là:

S=12bcsin A =12casin B =12absin C

Ví dụ 4 (SGK -tr74)

Luyện tập 1:

Ta có: A=180o-B-C=75o

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: 

ABsin C =ACsinB AC=ABsinBsinC=66

Diện tích tam giác ABC là: 

S=12ABACsinA≈85,2.

HĐ5:

Theo định lí côsin, ta có:

cos A =b2+c2-a22bc

Mà A +A =1

A =4b2c2-(b2+c2-a2)24b2c2

sin A =12bc(2bc)2-(b2+c2-a2)2

Xét T= (2bc)2-(b2+c2-a2)2

=(2bc+b2+c2-a2)(2bc-b2-c2+a2)=(b+c)2-a2a2-(b-c)2=(b+c-a)(b+c+a)(a-b+c)(a+b-c)

Ta có: a + b = c = 2p

{b+c-a=2(p-a) a-b+c=2(p-b) a+b-c=2(p-c)

⇒T=4p(p-a)(p-b)(p-c)

Vậy sin A =2bcp(p-a)(p-b)(p-c) 

1. b) Diện tích S theo các cạnh của tam giác ABC 

S=12bcsin A

=12bc.2bcp(p-a)(p-b)(p-c)=p(p-a)(p-b)(p-c)

Kết luận:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, p=a+b+c2. Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là: S=p(p-a)(p-b)(p-c)

Ví dụ 5 (SGK -tr75)

III. ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TIỄN

Ví dụ 6 (SGK -tr75)

Ví dụ 7 (SGK -tr75)

Luyện tập 2: 

Gọi A là vị trí đặt mắt quan sát bằng giác kế, B là vị trí ngọn cây, D là vị trí gốc cây.

Gọi C là hình chiếu vuông góc của A lên BD.

+ Trường hợp 1: Cây cao hơn vị trí quan sát.

Gọi góc BAC=β=24o, DAC=α=34o

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

 BCsin =ACsin B

Mà B=90o-β=66o

BCsin24o=30sin66o

⇒BC≈13,4 (m)

Vậy chiều cao của cây là: 

BD=BC+CD≈13,4 +18,5+1,5=33,4 (m)

+ Trường hợp 2: Cây thấp hơn vị trí quan sát. 

Gọi góc BAC=β=24o, DAC=α=34o

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC: 

BCsinβ=ACsinABC

⇒BC≈13,4 (m)

Vậy chiều cao của cây là: 

BD=DC-BC≈18,5+1,5-13,4=6,6 (m)

Ví dụ 8 (SGK -tr76)