Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 7 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương 7 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm sách Toán 11 Cánh diều. Với các ý rõ ràng, nội dung mạch lạc, đi thẳng vào vấn đề hi vọng người đọc sẽ nắm trọn kiến thức trong thời gian rất ngắn. Nội dung chính được tóm tắt ngắn gọn sẽ giúp thầy cô ôn tập củng cố kiến thức cho học sinh. Bộ tài liệu có file tải về. Mời thầy cô kéo xuống tham khảo
BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (3 TIẾT)I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
- Đạo hàm của hàm số
HĐ1
Để tính đạo hàm của hàm số tại , ta lần lượt thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xét là số gia của biến số tại điểm . Tính .
Bước 2: Rút gọn tỉ số .
Bước 3: Tính .
Kết luận: Nếu thì .
- a) Xét là số gia của biến số tại điểm
Ta có:
Suy ra:
Ta thấy,
Vậy đạo hàm của hàm số tại điểm bất kì là .
- b) Dự đoán:
Quy tắc:
Hàm số có đạo hàm tại mọi và .
Nhận xét: Bằng định nghĩa, ta chứng minh được:
- Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: với là hằng số;
- Đạo hàm của hàm số bằng 1: .
Ví dụ 1: (SGK – tr.64)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.64)
Luyện tập 1
- a) Ta có:
- b) Đạo hàm của hàm số tại điểm là:
- Đạo hàm của hàm số
HĐ2
Xét là số gia của biến số tại điểm
Ta có:
Suy ra:
Ta thấy,
Vậy đạo hàm của hàm số tại điểm là
Dự đoán:
Quy tắc:
Hàm số có đạo hàm tại mọi và .
Ví dụ 2: (SGK – tr.65)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.65)
Luyện tập 2
Ta có: .
Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm là .
- Đạo hàm của hàm số lượng giác
HĐ3
Xét là số gia của biến số tại điểm
Ta có:
Suy ra:
Ta thấy,
.
Vậy đạo hàm của hàm số tại điểm bất kì là
Quy tắc:
Hàm số có đạo hàm tại mọi và .
Ví dụ 3: (SGK – tr.65)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.65)
Luyện tập 3
Ta có:
Đạo hàm của hàm số trên tại điểm là:
.
HĐ4
Xét là số gia của biến số tại điểm
Ta có:
Suy ra:
Ta thấy,
.
Vậy đạo hàm của hàm số tại điểm bất kì là -
Quy tắc:
Hàm số có đạo hàm tại mọi và .
Ví dụ 4: (SGK – tr.66)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.66)
Luyện tập 4
Ta có:
Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm là: .
HĐ5
Xét là số gia của biến số tại điểm ,
Ta có:
Suy ra:
Ta thấy,
Vậy đạo hàm của hàm số tại điểm bất kì, là
Quy tắc:
Hàm số có đạo hàm tại mọi và .
Ví dụ 5: (SGK – tr.66)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.66)
Luyện tập 5
Ta có: .
Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm là: .
HĐ6
Xét là số gia của biến số tại điểm ,
Ta có:
Suy ra:
Ta thấy,
Vậy đạo hàm của hàm số tại điểm bất kì, là
Quy tắc:
Hàm số có đạo hàm tại mọi và .
Ví dụ 6: (SGK – tr.66)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.66)
Luyện tập 6
Ta có: .
Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm là: .
- Đạo hàm của hàm số mũ
HĐ7
Xét là số gia của biến số tại điểm bất kì.
Ta có:
Suy ra:
Ta thấy,
Quy tắc:
Hàm số có đạo hàm tại mọi và .
Tổng quát: Hàm số có đạo hàm tại mọi và .
Ví dụ 7: (SGK – tr.67)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.67)
Luyện tập 7
Ta có:
Đạo hàm của hàm số trên tại điểm là:
- Đạo hàm của hàm số lôgarit
HĐ8
Xét là số gia của biến số tại điểm dương bất kì.
Ta có:
Suy ra:
Ta thấy,
Quy tắc:
Hàm số có đạo hàm tại mọi dương và .
Ta thấy:
.
Tổng quát: Hàm số có đạo hàm tại mọi dương và .
Ví dụ 8: (SGK – tr.67)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.67)
Luyện tập 8
Ta có:
Đạo hàm của hàm số trên tại điểm là: .
II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
- Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
- a) Ta có:
- b) Ta có:
Do đó:
Nhận xét:
Ta có , tức là đạo hàm của tổng thì bằng tổng các đạo hàm.
Quy tắc:
Giả sử là các hàm số có đạo hàm tại điểm thuộc khoảng xác định, ta có:
Nhận xét: Cho là hàm số có đạo hàm tại điểm thuộc khoảng xác định
- Nếu c là một hằng số thì
Ví dụ 9: (SGK – tr.68)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.68)
Luyện tập 9
Ta có:
Ví dụ 10: (SGK – tr.68)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.68)
Luyện tập 10
Ta có:
Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm là:
- Đạo hàm của hàm hợp
HĐ10
Cho hàm số .
- a) Ta có:
- b) Ta có:
Hàm hợp
Giả sử hàm số xác định trên và lấy giá trị trên ; là hàm số của , xác định trên và lấy giá trị trên Khi đó, ta có thể lập được một hàm số mới xác định trên và lấy giá trị trên .
Hàm số được gọi là hàm hợp của hai hàm số
Ví dụ 11: (SGK – tr.69)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.69)
Ví dụ 12: (SGK – tr.69)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.69)
Luyện tập 11
Đặt , ta có:
Vậy hàm số là hàm hợp của hai hàm số và
Công thức tính đạo hàm hàm hợp
Nếu hàm số có đạo hàm tại là và hàm số có đạo hàm tại là thì hàm hợp có đạo hàm tại là .
Bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp và hàm hợp:
Ví dụ 13: (SGK – tr.71)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.71)
Luyện tập 12
- a) Đặt , ta có: .
Khi đó, và
Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:
- b) Đặt , ta có:
Khi đó, và
Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: