Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 8 Bài 5: Khoảng cách
Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương 8 Bài 5: Khoảng cách sách Toán 11 Cánh diều. Với các ý rõ ràng, nội dung mạch lạc, đi thẳng vào vấn đề hi vọng người đọc sẽ nắm trọn kiến thức trong thời gian rất ngắn. Nội dung chính được tóm tắt ngắn gọn sẽ giúp thầy cô ôn tập củng cố kiến thức cho học sinh. Bộ tài liệu có file tải về. Mời thầy cô kéo xuống tham khảo
BÀI 5. KHOẢNG CÁCH (2 TIẾT)I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG.
Khái niệm
Cho đường thẳng và điểm không thuộc Gọi là hình chiếu của điểm trên đường thẳng . Độ dài đoạn thẳng gọi là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , kí hiệu .
Trong hình 59, ta có .
Ví dụ 1: (SGK – tr.100)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.100)
II. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
HĐ1
Do bác thợ khoan tường tại vị trí trên tường có độ cao so với nền nhà là nên độ dài đoạn thẳng chính là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nền nhà.
Như vậy, độ dài đoạn thẳng gợi nên khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học.
Khái niệm
Cho mặt phẳng và điểm không thuộc mặt phẳng Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng Độ dài đoạn thẳng gọi là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng kí hiệu
Chú ý: Khi điểm M thuộc mặt phẳng (P) thì
Ví dụ 2: (SGK – tr.101)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.101)
Luyện tập 1
Do và nên .
Ta có:
Suy ra
Mà nên .
Ta có:
Suy ra
Ta thấy và nên khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng .
III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
HĐ2
- a) Gọi là điểm thuộc Δsao cho điểm khác điểm
Kẻ , với
Ta có:
và ⇒ .
và ⇒
Ta có là hình chữ nhật,
Do đó
Vậy khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm trên đường thẳng Δ.
- b) Do Δ // nên khoảng cách từ điểm bất kì (với thuộc đường thẳng Δ) đến đường thẳng gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song trong hình học.
Định nghĩa
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu .
Trong hình 65, ta có với .
Ví dụ 3: (SGK – tr.102)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.102)
Luyện tập 2
Giả sử: Hai cột đèn liên tiếp được dựng vuông góc với mặt đường, chúng lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng và . Như vậy khoảng cách giữa hai cột đèn liên tiếp chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng và
Vì các cột đèn được dựng thẳng đứng và vuông góc với mặt đường nên đường thẳng mà hai cột đèn đó gợi lên là song song với nhau, tức là song song với .
Khi đó, đoạn thẳng nối hai chân cột đèn liên tiếp chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và .
Vậy ta có thể nói khoảng cách giữa hai cột đèn liên tiếp đó là .
IV. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
HĐ3
- a) Lấy là điểm thuộc đường thẳng Δsao cho điểm khác điểm .
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm và trên mặt phẳng hay
Suy ra và .
Ta có: là hình chữ nhật.
Suy ra
hay .
Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm trên đường thẳng Δ.
- b) Vì đường thẳng Δ và mặt phẳng song song với nhau nên khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng gợi nên khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song trong hình học.
Định nghĩa
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng đến mặt phẳng , kí hiệu .
Trong hình 68, ta có với .
Ví dụ 4: (SGK – tr.103)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.103)
Luyện tập 3
+ Gọi là hình chiếu vuông góc của trên hay .
+ Xét có: lần lượt là trung điểm của và
là đường trung bình của .
.
.
Trong kẻ
.
Khi đó,
Có:
+ Xét tam giác vuông tại (do ) có:
.
+ Xét có:
là trung điểm của và
là đường trung bình của .
.
Vậy
V. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
HĐ4
- a) Vì sàn nhà và trần nhà của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng song song , và ta biết chiều cao của căn phòng là .
Vậy nên chiều cao của căn phòng đó gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong hình học.
- b) Trên mặt phẳng lấy điểmkhác .
Gọi là hình chiếu của trên nên . Suy ra .
Do là hình chiếu của trên nên . Suy ra .
Ta có: là hình chữ nhật.
Suy ra hay .
Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm trong mặt phẳng
Định nghĩa
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu .
Trong hình 71, ta có với , , .
Ví dụ 5: (SGK – tr.104)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.104)
Luyện tập 4
+) Ta có: .
.
Gọi là hình chiếu của trên , tức là
Suy ra
+) Ta có: .
Xét tam giác vuông tại (vì ) có:
.
Vậy
VI. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
HĐ4
Quan sát Hình 73 ta thấy đường thẳng lần lượt vuông góc với đường thẳng tại và vuông góc với đường thẳng tại .
Như vậy, đường thẳng vừa cắt, vừa vuông góc với cả hai đường thẳng và
Định nghĩa
Cho hai đường thẳng chéo nhau.
- Đường thẳng vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thằng và được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
- Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng với hai đường thẳng được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
- Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí hiệu .
Nhận xét
- Gọi mặt phẳng chứa và song song với là , hình chiếu của trên là , giao điểm của và là , hình chiếu của trên là . Khi đó, là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau . Ngoài ra, ta cũng có
- Khi , ta có thể làm như sau: Gọi mặt phẳng đi qua và vuông góc với là , giao điểm của và là , hình chiếu của trên là . Khi đó là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau .
Ví dụ 6: (SGK – tr.105)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.105)
Luyện tập 5
Gọi là trung điểm của .
Xét đều có: là đường trung tuyến
.
Do
.
Xét đều cạnh , có là trung điểm của nên .
Xét tam giác vuông tại (do ) có:
Vậy