BÀI 6. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG. HÌNH CHÓP ĐỀU. THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH KHỐI (3 TIẾT)

I. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỀU.

HĐ1

Ta có:  ( là hình chữ nhật)

            ( là hình chữ nhật)

.

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

..

Định nghĩa

• Hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy được gọi là hình lăng trụ đứng.
• Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều gọi là hình lăng trụ đều.
• Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp đứng.

Chú ý: Khi đáy của hình lăng trụ đứng lần lượt là tứ giác, ngũ giác, lục giác, ta gọi hình lăng trụ đứng đó lần lượt là hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác, hình lăng trụ đứng lục giác.

Nhận xét

• Mỗi mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật, mặt phẳng chứa nó vuông góc với mặt đáy.
• Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.

Nếu mỗi mặt của hình hộp là hình chữ nhật thì hình hộp đó là hình hộp chữ nhật.

Độ dài các đường chéo của hình hộp chữ nhật là bằng nhau.

• Hình lập phương là hình chữ nhật có tất cả các mặt là hình vuông.

Hình lập phương là hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

Ví dụ 1: (SGK – tr.108)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.108)

Luyện tập 1

Xét  vuông tại B ta có:

Ta có: .

Xét  vuông tại A ta có:

Vậy độ dài đường chéo của hình lập phương là .

II. HÌNH CHÓP ĐỀU. HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU.

1. Hình chóp đều

HĐ2

1. a) Đáy của hình chóp mà bạn Dũng tạo ra là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau, bốn góc bằng nhau và bằng 90°.

Vậy đáy của hình chóp đó là hình vuông.

1. b) Các cạnh bên của hình chóp đó bằng nhau.

Định nghĩa

Hình chóp đều là có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Chú ý:

• Khi đáy của hình chóp đều lần lượt là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, ta gọi hình chóp đều đó lần lượt là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều, hình chóp ngũ giác đều, hình chóp lục giác đều.
• Hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.

(Lai hóa orbital )         (Kim tự tháp kính)

Nhận xét

Đối với một hình chóp bất kì, đoạn thẳng nối đỉnh với hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy được gọi là đường cao của hình chóp đó; hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy gọi là chân đường cao của hình chóp đó; độ dài đường cao được gọi là chiều cao của hình chóp đó.

Luyện tập 2

Gọi  là chân đường cao của hình chóp đều .

Ta có: .

Xét hai tam giác vuông  và  có:

 chung; .

  (ch – cgv)

 ( 2 góc tương ứng)

Ví dụ 2: (SGK – tr.110)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.110)

Tổng quát

Chân đường cao của hình chóp đều là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

2. Hình chóp cụt đều

HĐ3

Dự đoán: Bốn đường thẳng ; ;  và  đồng quy tại một điểm.

Định nghĩa

Cho hình chóp đều . Mặt phẳng  song song với đáy của hình chóp và cắt cạnh , ,..., lần lượt tại

Phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng  và () được gọi là hình chóp cụt đều . 

Trong hình chóp cụt đều . , ta gọi:

• Các đa giác  lần lượt là đáy lớn, đáy nhỏ;
• Các tứ giác , là các mặt bên;
• Các đoạn thẳng , , ..., là các cạnh bên;
• Các cạnh của đa giác  là các cạnh đáy;
• Đoạn thẳng nối tâm của hai đáy là đường cao, độ dài đường cao là chiều cao.

Tùy theo đáy là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, ..., ta có hình chóp cụt tam giác đều, hình chóp cụt tứ giác đều, hình chóp cụt ngũ giác đều, ...

Nhận xét

• Hai đáy của hình chóp cụt đều nằm trên hai mặt phẳng song song và có các cạnh tương ứng song song; đồng thời hai đáy đó là các đa giác đều có cùng số cạnh;
• Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân;
• Các đường thẳng chứa cạnh bên của hình chóp cụt đều cùng đi qua một điểm;
• Đường cao của hình chóp cụt đều thì vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt đều đó.

Luyện tập 3

Xét  có:

 lần lượt là trung điểm của .

  là đường trung bình  

Mà  

CMTT:

Lại có:

 .

Mà  là hình chóp đều

Vậy  là hình chóp cụt đều.

Ví dụ 3: (SGK – tr.111)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.111)

III. THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH KHỐI

1. Thể tích của khối lăng trụ

HĐ4

Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, tứ giác đều được tính bằng công thức:

Trong đó  là diện tích đáy và  là chiều cao khối lăng trụ đứng tam giác.

Định lí

Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

Nhận xét

• Do chiều cao của khối lăng trụ đứng bằng độ dài cạnh bên nên thể tích của khối lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với độ dài cạnh bên.
• Vì khối hộp là khối lăng trụ có đáy là hình bình hành nên thể tích của khối hộp bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

• Thể tích của khối hộp hình chữ nhật với ba kích thước: chiều dài , chiều rộng , chiều cao , là: .
• Thể tích khối lập phương cạnh là: .

Luyện tập 4

Ta có:

Xét  vuông tại H, ta có:

Xét  vuông tại H, ta có:

Xét  có chiều cao là HC, ta có:

Thể tích của khối chóp là:

Ví dụ 4: (SGK – tr.112)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.113)

2. Thể tích của khối chóp và khối chóp cụt đều
3. a) Thể tích của khối chóp

Ta gọi chiều cao của khối chóp  là chiều cao của hình chóp tương ứng.

Định lí

Thể tích của khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.

Cụ thể,  trong đó là thể tích khối chóp,  là diện tích của đáy và là chiều cao của khối chóp.

Ví dụ 5: (SGK – tr.113)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.114)

Luyện tập 5

Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy.

Ta có: S.ABC là tứ diện đều nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Mà  là tam giác đều

Suy ra, H là trọng tâm tam giác.

Lấy M là trung điểm AB, khi đó CM là đường cao của tam giác ABC.

Xét  vuông tại H, ta có:

Xét  đều, ta có:

Thể tích của tứ diện đều là:

1. b) Thể tích khối chóp cụt đều

Thể tích khối chóp cụt đều được tính theo công thức:

Trong đó h là chiều cao và ,  lần lượt là diện tích hai đáy của khối chóp cụt đều.

Ví dụ 6: (SGK – tr.114)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.114)

Luyện tập 6

Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều nên ta có hai đáy là hình vuông.

Diện tích đáy lớn là

Diện tích đáy bé là

Vậy thể tích của thùng đựng rác là: