Bài tập file word Toán 10 Kết nối tri thức Bài 25: Nhị thức Newton

BÀI 25 : NHỊ THỨC NEWTON  (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển (x + 2)4

Trả lời:

(x + 2)4 = C40. x4. 20 + C41. x3. 21 + C42. x2. 22 + C43. x1. 23 +C44. x0. 4 

             = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16

Bài 2: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (14 + 34.x)4

Trả lời:

(14 + 34.x)4 = C40. (14)4. (34.x) + C41. (14)3. (34.x)2 + C42. (14)2. (34.x)2 + C43. (14). (34.x)3 +C40. (34x)4

    = 1256 + 364x + 27128x2 + 2764x3 + 81256x4  

Vậy hệ số lớn nhất là 2764

Bài 3: Tìm hệ số của x5 trong khai triển (2x – 1)12

Trả lời:

Số hạng tổng quát :  C12k. (2x)12 - k . (-1)k = C12k. 212-k.(-1)k. x12-k

Số hạng chứa x5 ⬄ 12 – k = 5 ⬄ k = 7

Vậy hệ số của x5 là : C127. 212-7.(-1)7 = -25344

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm hệ số của x7 trong khai triển (x + 1x)13

Trả lời:

Số hạng tổng quát : Tk+1 =  C13k. x13 - k . (1x)k =  C13k. x13-2k

Số hạng chứa x7 ⬄ 13 – 2k = 7 ⬄ k = 3

Vậy hệ số của x7 là : C133 = 286

Bài 2: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển (x2 + 1x4)12

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : C12k. x2.(12 – k) . 1x4k = C12k.x24 – 6k

Số hạng không chứa x ⬄ 24 – 6k = 0 ⬄ k = 4

Vậy số hạng tự do là C124 = 495

Bài 3: Trong khai triển ( 1 – 2x)20 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a20x20. Tính a0 – a1 + a2

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : C20k.(-2) k . xk 

a0 = C200 ; a1 = (-2).C201 ; a2 = (-2)2.C202

=> a0 – a1 + a2 = C200 - (-2).C201 + (-2)2.C202 = 801

Bài 4: Tìm hệ số của x25y10  trong khai triển ( x3 + xy)15

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : C15k.(x3)15 -k.(xy)k = C15k.x45 -2k.yk

Với 0 ≤ k ≤ 15 , số hạng chứa x25y10 ⬄ k = 10

Vậy hệ số của x25y10 là C1510 = 3003

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho biết hệ số của x2 trong khai triển ( 1 + 2x)n là 180. Tìm n.

Trả lời:

Số hạng tổng quát là :  Tk+1 = Cnk.2k.xk

Hệ số của x2 là : Cn2.22 = 180 ⬄ n! n-2.2 = 180 ⬄ n(n – 1) = 90 ⬄ n = 10 ( vì n > 0)

Vậy n = 10

Bài 2: Xét biểu thức ( x + 2y)3 + ( 2x – y)3

1. a) Viết khai triển biểu thức trên bằng nhị thức Newton.
2. b) Tính tổng hệ số của số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y

Trả lời:

1. a) ( x + 2y)3 + ( 2x – y)3

= C30. x3 + C31. x2 .2y + C32.x. (2y)2 + C33. (2y)3 + C30. (2x)3 + C31. (2x)2 . (-y)k + C32. (2x).(-y)2 + C33. (-y)3

= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 + 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 

= 9x3 – 6x2y + 18xy2 + 7y3

1. b) Số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y là 9x3 ; 6x2y

     Tổng hệ số của chúng là 9 + (-6) = 3

Bài 3: Tính tổng hệ số trong khai triển (1 – 2x)2024

Trả lời:

(1 – 2x)2024 = C20240 – 2x. C20241 + (-2x)2 . C20242+ (-2x)3 . C20243 +...+ (-2x)2024 . C20242024

Tổng các hệ số là : 

S =  C20240 – 2.C20241 + (-2)2 . C20242+ (-2)3 . C20243 +...+ (-2)2024 . C20242024

Cho x = 1 ta có : 

(1 – 2.1)2024 = C20240 – 2. C20241 + (-2)2 . C20242+ (-2)3 . C20243 +...+ (-2)2024 . C20242024

⬄ (-1)2024    = S ⬄ S = 1

Bài 4 : Tìm hệ số của x6 trong biểu thức M = ( 2x – 1)11 + ( x2 + 1)7

Trả lời:

+) Số hạng tổng quát của (2x – 1)11 là : C11k. (2x)11 - k . (-1)k 

    Hệ số của x6 ⬄ 11 – k = 6 ⬄ k = 5

    Hệ số của x6 trong (2x – 1)11 là : C116. 211 - 5 . (-1)5 = - 26 . C116

+) Số hạng tổng quát của (x2 + 1)7 là : C7k. x14 -2 k . 1k

    Hệ số của x6 ⬄ 14 – 2k = 6 ⬄ k = 4

    Hệ số của x6 trong (x2 + 1)7 là : C74. 14 = C74

=> hệ số của x6 trong biểu thức M là : - 26 . C116 + C74

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Trong khai triển nhị thức Newton của K(x) = (32x + 3)2023 thành đa thức , có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương ?

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : C2023k. (32x)2023 - k . 3k = C2023k.2(2023 – k) : 3 .3k . x2023 – k

Để hệ số nguyên dương ⬄ ( 2023 – k) ⁝ 3 

⬄2023 – k = 3t ⬄ k = 2023 – 3t  

Vì 0 ≤ k ≤ 2023 => 0 ≤ t ≤ 20233   674,3 

=> t {0; 1; 2; 3; ...; 674} => có 675 giá trị

Vậy có 675 số hạng có hệ số nguyên dương.

Bài 2: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5. Cnn-1 = Cn3. Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton (nx214 - 1x)14 , x ≠ 0.

Trả lời:

5. Cnn-1 = Cn3 ⬄ 5n = n(n-1)(n-2)6 ⬄(n – 1)(n – 2) = 30 ⬄ n = 7 ( vì n > 0)

(nx214 - 1x)14 =  (7x214 - 1x)14 =  (x22 - 1x)14

Gọi a là hệ số của x5 ta có C77-k. (x22)7-k. (- 1x)k = ax5 ⬄ (-1)k. C77-k. (12)7-k. x14-3k = ax5

=> 14 – 3k = 5 ⬄ k = 3 => a = (-1)3. C77-3. (12)7-3 = - 3516

Vậy hệ số của x5 là - 3516

Bài 3: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển (3 - 15)6

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : 

Tk + 1 = C6k. (3)6 - k . (-15)k = (-1)k. C6k. 33 – k : 2 .15k : 2 = (-1)k. C6k.33. 5k : 2 (0 ≤ k ≤ 6)

Tk + 1 là số hữu tỉ ⬄ ( k : 2 ) là số tự nhiên ⬄ k ⁝ 2 ⬄ k {0; 2; 4; 6} ( vì 0 ≤ k ≤ 6 )

k = 0 => T1 = (-1)0. C60.33. 50 : 2 = 27

k = 2 => T3 = (-1)2. C62.33. 52 : 2 = 2025

k = 4 => T5 = (-1)4. C64.33. 54 : 2 = 10125

k = 6 => T7 = (-1)6. C66.33. 56 : 2 = 3375

Bài 4 : Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển (x3 – xy)15

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : Tk + 1 = C15k. (x3)15 - k . (-xy)k

n = 15 => khai triển (x3 – xy)15 có 16 số hạng

 => số hạng đứng giữa là số hạng thứ 8 và 9

T8 = T7+1 = C157. (x3)15 - 7 . (-xy)7 = -6435x31y7

T9 = T8+1 = C158. (x3)15 - 8 . (-xy)8 = 6435x29y8