BÀI 23: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH

( 20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho bảng sau:

Hai đại lượng x và y ở bảng trên có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch hay không? Vì sao?

Đáp án:

Ta có, (-2).9=3.(-6)=(-6).3=4.(- 4,5)=3,6.(-5) = -18

Vì vậy x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a = -18 

Bài 2: Cho bảng sau:

Hai đại lượng x và y ở bảng trên có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch hay không? Vì sao?

Đáp án:

Ta có 3.6 = 18; 2.4 = 8; (- 2).(- 4) = 8; 4.8 = 32

Vì 8 ≠18≠32 nên x và y không phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài 3: Cho x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền số thích hợp vào chỗ...

Đáp án:

Bài 4: Các giá trị tương ứng của V và m được cho trong bảng sau:

1. a) Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng
2. b) Hai đại lượng V và m có tỉ lệ nghịch với nhau không? Vì sao?

Đáp án:

b, Ta có v.t=4,8

⇒m và V là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài 5: Xác định hệ số tỉ lệ trong các trường hợp x tỉ lệ nghịch với y sau đây:

a, x.y=-a

b, x.y=2a

c, x.-y=-2

Đáp án:

a, Hệ số tỉ lệ là -a

b, Hệ số tỉ lệ là 2a

c, x.-y=-2 x.y=--2=2

Hệ số tỉ lệ là 2

Bài 6: Cho x tỉ lệ nghịch với y, tìm hệ số tỉ lệ a trong các trường hợp sau

a, x = -2; y = 4 

b, x = 13; y = -32

Đáp án:

a, Có x tỉ lệ nghịch với y

x.y=a

Mà x = -2; y = 4

a=-2.4 

a=-8

b, Có x tỉ lệ nghịch với y

x.y=a

Mà x = 13; y = -32

a=13.-32

a=-12

Bài 6: Cho đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ là 13. Hãy biểu diễn y theo x

Đáp án:

Ta có đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ 13 nên đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 3. 

Lúc này, ta biểu diễn y theo x qua công thức y = 3x

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi x = -3 thì y = 5. Khi y = 9 thì giá trị tương ứng của x là gì? 

Đáp án:

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có thể biểu diễn x, y qua công thức:

x.y = a

Ta có, khi x = -3 thì y = 5

a=-3.5=-15 

x.y=-15 

Khi y = 9 x.9=-15 

⇒x=-159=-53 

Bài 2: Biết rằng x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x = 4 thì y = 9.

1. a) Viết công thức tính y theo x.
2. b) Tính giá trị của y khi x = -4.
3. c) Tính giá trị của x khi y=-23.

Đáp án:

4. a) Ta có: y=4.9=36

Do đó y=36x

Vậy công thức tính y theo x là y=36x.

b, Ta có y=36x mà x=-4

⇒y=36-4=-9 

c, Ta có y=36x mà y=-23

-23=36x 

⇒x=-54 

Bài 3: Cho biết hai đại lượng của x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 5 thì y = 6.

a, Tìm hệ số tỉ lệ a

b, Biểu diễn x theo y. Tính giá trị của x khi y = - 3, y = -12

c, Biểu diễn y theo x. Tính giá trị của y khi x = - 6, x = 4

Đáp án:

a, Ta có hai đại lượng của x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ a

⇒x.y=a 

Mà x = 5, y = 6

a=5.6 

⇒a=30 

Ta có x.y=a mà a=30⇒x.y=30

b, x.y=30⇒x=30y 

Khi y = -3 ⇒x=30-3=-10

Khi y = -12 ⇒x=30-12=-52

c, x.y=30⇒y=30x 

Khi x = - 6 ⇒y=30-6=-5

Khi x = 4 ⇒y=304=152

Bài 4: Cho x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ - 6, y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ -3. Hỏi x có tỉ lệ thuận với z không, và nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Đáp án:

Ta có x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ - 6

⇒x=-6y (1)

y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ -3

y=-3z (2)

Từ (1) và (2) ⇒x=-6-3z=-6.z-3=2z

⇒x=2z 

⇒x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là 2. 

Bài 5: Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Với mỗi giá trị x1, x2 của x, ta có một giá trị tương ứng y1, y2 của y. Tìm y2 biết x1 = 3; x2=-23;y1 + y2 = 6

Đáp án:

a, Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:

x1.y1=x2.y2 

Suy ra x1y2=x2y1

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x1y2=x2y1=x1+x2y1+y2=736=718.

Do đó: x1y2=718 mà x1 = 3

⇒ y2=547 

Vậy y2=547

Bài 6: Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Với mỗi giá trị x1, x2 của x, ta có một giá trị tương ứng y1, y2 của y. Tìm x1, y2 biết 4x1 + 3y2 = 5, x2 = 4, y1 = -5

Đáp án:

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x1.y1=x2.y2 

Suy ra x1y2=x2y1 x1y2=4-5 x14=y2-5

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x14=y2-5=4x116=3y2-15=4x1+3y216+(-15)=51=5 

x14=5; y2-5=5 

x1=20;y2=-25 

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Bài 1: Để hoàn thành xong một công việc trong 8 giờ cần có 35 công nhân, vậy để hoàn thành công việc đó trong 5 giờ thì cần bao nhiêu công nhân?

Đáp án:

Gọi số công nhân để hoàn thành công việc đó trong 8 giờ là a (người) (a N*)

Vì số số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:

8.35=5.a 

⇒a=56 

Vậy cần 56 công nhân để hoàn thành công việc trong 5 giờ.

Bài 2: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 65km/h trong 2 giờ 30 phút. Hỏi ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50km/h trong thời gian bao nhiêu.

Đáp án:

Đổi 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ. 

Gọi thời gian ô tô đi hết quãng đường AB với vận tốc 50km/h là a (giờ) (a >0)

Vì vận tốc và thời gian đi của ô tô là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

65.2,5=50.a 

⇒a=3,25 (giờ)

Vậy ô tô đi hết quãng đường AB với vận tốc 50km/h trong 3,25 giờ hay 3 giờ 15 phút.

Bài 3: Ba lớp 7A, 7B cùng tham gia cùng cây xanh, mỗi học sinh lớp 7A trồng được 4 cây, mỗi học sinh lớp 7B trồng được 5 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây, biết số cây mỗi lớp trồng được bằng nhau và có tất cả 72 học sinh tham gia trồng cây.

Đáp án:

Gọi số học sinh lớp 7A, 7B trồng được lần lượt là a, b (học sinh) (a,b N*)

Có tất cả 72 học sinh tham gia trồng cây

⇒a+b=72 

Vì số cây trồng được của hai lớp là bằng nhau nên số học sinh mỗi lớp và số cây mà mỗi học sinh trồng được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau

4a=5b 

a5=b4 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a5=b4=a+b5+4=729=8

a5=8;b4=8 

a=40, b=32 

Vậy số học sinh hai lớp 7A, 7B tham gia trồng cây lần lượt là 40 và 32 học sinh.

Bài 4: Bạn Linh có 12 tờ tiền loại 5 000 đồng, 10 000 đồng, 20 000 đồng. Biết tổng trị giá mỗi loại tiền bằng nhau. Hỏi bạn Linh có bao nhiêu tờ tiền mỗi loại?

Đáp án:

Gọi số tờ tiền mỗi loại 5 000 đồng, 10 000 đồng, 20 000 đồng lần lượt là a, b, c (tờ) (a, b, c N*)

Bạn Linh có 14 tờ tiền loại 5 000 đồng, 10 000 đồng, 20 000 đồng

⇒a+b+c=14 

Vì tổng trị giá mỗi tờ tiền là như nhau nên số tờ tiền mà mệnh giá là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

a.5 000=b. 10 000=c.20 000 

a4=b2=c1 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a4=b2=c1=a+b+c4+2+1=147=2 

a4=2;b2=2;c1=2 

a=8;b=4;c=2 

Vậy có 8 tờ 5000 đồng, 4 tờ 10 000 đồng, 2 tờ 20 000 đồng.

Bài 5: Để hoàn thành xong công việc trong 8 giờ cần 35 công nhân. Nếu số công nhân tăng thêm 15 người nữa (năng suất như nhau) thì thời gian hoàn thành công việc đó sẽ giảm đi bao nhiêu giờ?

Đáp án:

Gọi thời gian để hoàn thành công việc khi tăng thêm 15 công nhân là a (giờ) (0 < a < 8)

Ta có, số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 

8.35=(35 + 15) a

280=50a

a=5,6 

Vậy khi công nhân tăng thêm 15 người thì thời gian hoàn thành công việc đó sẽ giảm 8 – 5,6 = 2,4 giờ.

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Một số tự nhiên được chia ra làm 3 phần tỉ lệ nghịch với 25;4;34. Biết rằng tổng các bình phương của ba phần này là 29125. Tìm số tự nhiên ban đầu. 

Đáp án:

Gọi ba phần được chia ra từ số tự nhiên ban đầu là x, y, z. (x, y, z > 0)

Ta có tổng các bình phương của ba phần này là 29125

x2+y2+z2= 29125

Vì ba phần tỉ lệ nghịch với 25;4;34

25x=4y=34z 

x52=y14=z43 x2 522=y2142=z2432

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x2 522=y2142=z2432=x2+y2+z2522+142+432=291251165144=3600

x2 522=3600x2=22500⇒x=150 (vì z > 0)

y2142=3600y2=225⇒y=15 (vì y > 0)

z2432=3600z2=6400⇒z=80 (vì z > 0)

Vậy số tự nhiên cần tìm ban đầu là: 150 +15+80 = 245

Bài 2: Hai chiếc xe máy cùng khởi hành từ A đến B. Biết vận tốc xe máy thứ nhất bằng 80% vận tốc xe máy thứ hai và thời gian xe máy thứ nhất đi từ A đến B nhiều hơn thời gian xe máy thứ hai đi từ A đến B là 2 giờ. Tính thời gian xe máy thứ hai đi từ A đến B

Đáp án:

Gọi vận tốc của hai xe máy lần lượt là a và b (a, b > 0)

Gọi thời gian đi của hai xe máy lần lượt là x và y(x, y > 0)

Theo bài ra, ta có: 

a=80%b=45b; x=y+2 

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

a.x=b.y 

45b.y+2=by 

45by+85b=by 

⇒8b=by 

⇒y=8 

Vậy xe máy thứ hai đi quãng đường AB là 8 giờ.

Bài 3: Tổng của ba phân tối giản bằng 11718. Các tử của chúng tỉ lệ nghịch với 15, 6, 8. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 2, 3, 5. Tìm ba phân số trên. 

Đáp án:

Gọi ba phân số cần tìm là x, y, z. Trong đó, x=ab;y=cd;z=ef (a, b, c, d, e, f N*)

Vì ba phân số có tổng là 11718

x+y+z = 11718

Ta có các phân số này có tử tỉ lệ nghịch lần lượt với 15, 6, 8 và có mẫu tỉ lệ thuận lần lượt với 2, 3, 5

a.15=c.6=e.8 và b2=d3=f5 

15a:b2=6c:d3=8e:f5 

⇒30ab=18cd=40ef 

⇒30x=18y=40z 

x130=y118=z140 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x130=y118=z140 =x+y+z130+118+140=1171841360=100 

Vì vậy x130=100 ⇒x=103

y118=100 ⇒y=509

z140=100 ⇒z=52 

Vậy ba phân số cần tìm lần lượt là 103;509;52