BÀI 35: SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho O là giao điểm của ba đường trung trực trong ∆ABC. Khi đó O là gì?

Đáp án:

Ta có ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Bài 2: Xem hình vẽ bên có thể khẳng định rằng: các đường thẳng BA,CI và KE cùng đi qua một điểm không? Vì sao?

Đáp án:

Ta có EK⊥BC (gt), BA⊥ECgt,CI⊥BEgt

⇒EK,BA và CI là ba đường cao của △BEC vì vậy chúng gặp nhau tại một điểm.  

Bài 3: Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Đáp án:

Xét △AHB và △AHC có AHB=AHC=90gt ) AH: cạnh chung

HB=HC(gt)

Do đó △AHB=△AHC (hai cạnh góc vuông)

⇒AB=AC (cạnh tương ứng)

Hay △ABC cân tại A.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AD.

1. a) Chứng minh AD là đường trung trực của cạnh BC.
2. b) Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC có nằm trên AD không.

Đáp án:

1. a) Xét △ADB và △ADC có

AD: cạnh chung

DB=DC(AD là đường trung tuyến)

AB=AC (gt: ΔABC cân tại A)

Do đó △ADB=△ADC (c.c.c)

Mà ADB+ADC=180 (kề bù)

ADB=ADC=90 hay AD⊥BC

Lại có DB = DC

⇒AD là đường trung trực của cạnh BC.

1. b) Vi AD là đường trung trực của cạnh BC nên điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC cũng nằm trên đường trung tuyến AD.

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến. Chứng minh AM là đường trung trực của tam giác ABC

Đáp án:

Xét ∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến 

⇒AM là đường trung trực của ∆ABC

Bài 6: Nếu một tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?

Đáp án:

Giả sử ∆ABC có AM là đường trung tuyến

⇒BM=MC 

Có AM là đường trung trực

⇒AM⊥BC 

Xét 2 tam giác vuông ∆ABM và ∆ACM, có:

BM = CM (cmt)

AM chung

⇒ ∆ABM= ∆ACM (2 cgv)

⇒AB=AC (2 cạnh tương ứng)

⇒∆ABC cân tại A

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD=BH. Chứng minh rằng:
a) DH⊥AC 

1. b) CH⊥AD.

Đáp án:

45. a) △ABC vuông cân tại B, nên C=45.
    ΔHBD có Bˆ=90;BH=BD.
    Vậy ΔDBH vuông cân tại B, suy ra D=45.
    Xét ΔDIC có D=45;C=45 (chứng minh trên) nên C+D=90 suy ra DIC=90.
    Vậy DH⊥AC.
    b) △ADC có AB⊥BC (gt); DI⊥AC (chứng minh a).
    Vậy H là trực tâm của △ADC, suy ra CH là đường cao thứ ba của tam giác ADC, vậy CH⊥AD.

Bài 2: Cho tam giác ABC có A=100. Đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC theo thứ tự ở E và F. Tính góc EAF.

Đáp án:

Vì E thuộc đường trung trực của AB 

⇒EA=EB, A1=B 

Vì F thuộc đường trung trực của AC 

⇒FA=FB, A3=C 

Do đó A1+A3=B+C=180°-100°=80°

A2=100°-80°=20° 

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, có A=50°. Đường trung trực của AB cắt BC ở D. Tính CAD

Đáp án:

Vì tam giác ABC cân tại A (gt)

ACB=ABC

Xét △ABC có BAC+ABC+ACB=180° (tổng ba góc của tam giác)

Mà ABC= ACB (cmt)

BAC+2ABC=180°

ABC=180°-BAC2=180°-50°2=65°

Vì D thuộc đường trung trực của AB 

⇒AD=BD (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

△ABD cân tại D

DAB= ABC=65°

Mà DAC+ CAB= DAB

DAC= DAB- CAB=60°-50°=15°

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, có A=50°, đường trung trực của AB cắt BC tại D. Tính CAD

Đáp án:

Vì △ABC cân tại H (gt) 

C= B=180°-A:2 = (180°-50°):2=65°

Vì D thuộc đường trung trực của AB

AD = BD

⇒△ABD cân tại D

DAC+ CAB=DAB=B=65°

DAC=65°-CAB=65°-40°=25°

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có C=30°, đường trung trực của BC cắt AC tại M. Chứng minh BM là phân giác của ABC.

Đáp án:

Ta có M thuộc đường trung trực của BC

BM = MC (tính chất đường trung trực)

⇒△BMC cân tại M

MBC=C=30° (tính chất tam giác cân)

Xét △ABC có A+ABC+C=180° (tổng ba góc trong tam giác)

ABC=180°- C-A=180°-30°-90°=60°

ABM+ MBC=ABC=60°

ABM=60°- MBC= 60°-30°=30°

ABM = MBC

BM là phân giác của ABC 

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ KD AC (D ∈BC). Chứng minh AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK

Đáp án:

Xét △AHD vuông và△AKD vuông, ta có:

AH = AK (gt)

AB chung

△AHD vuông=△AKD (ch -cgv)

⇒HD=HK (2 cạnh tương ứng)

Mà AH = AK (gt)

⇒AD là đường trung trực của đoạn HK

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có góc A tù, các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự D và E.

1. a) Chứng minh △ABD,ΔACE cân.
2. b) Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc DAE.

Đáp án:

1. a) D thuộc trung trực của AB nên DA=DB hay △ABD cân Chứng minh tương tự ta cũng có EA=EC hay △ACE cân.
2. b) 0 thuộc trung trực của AB⇒OA=OB

Tương tự O thuộc trung trực của AC⇒OA=OC

Từ (1) và (2)⇒OB=OC⇒ΔOBC cân tại O⇒B1=C1

Lại có ΔODB=ΔODA (c.c.c) B1=A1

tương tự ΔOEA=ΔOEC⇒C1=A2

Từ (3) (4) (5) A1=A2 hay AO là tia phân giác của góc DAE.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AE. Chứng minh rằng:
a) DE vuông góc với BC
b) BE vuông góc với DC.

Đáp án:

1. a) Tam giác DAE có DAE=90 và AD=AE(gt) nên tam giác DAE vuông cân tại A.

E1=45

E2=E1=45 (đối đỉnh)

Lại có ACB=45

(vì △ABC vuông cân tại A )

Gọi K là giao điểm của DE và BC

Ta có EKC=90 hay DE⊥BC

1. b) Xét tam giác BDC có AC⊥BD(gt)

DE⊥BC (cmt) mà AC cắt DE tại E nên E là trực tâm của tam giác BDC⇒BE là đường cao thứ ba của tam giác BDC nên BE vuông góc với DC.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC.
a) Chứng minh rằng I là giao điểm ba đường trung trực của △AHC.
b) Gọi K là trung điểm của AH, qua A kẻ đường thẳng song song với AC, cắt BC ở D. Chứng minh rằng BK⊥AD.

Đáp án:

Dễ dàng chứng minh được AI=IC=HI=12AC.

Vậy I là giao điểm ba đường trung trực của △AHC.

1. b) Ta đã biết KD//AC,AB⊥AC (giả thiết) nên KD⊥AB.

△ABD có AH⊥BD,KD⊥AB, do đó K là trực tâm của △ABD, suy ra BK⊥AD 

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB có điểm M nằm giữa A và B (MA <MB). Vẽ tia Mx AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB. Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo AEB 

Đáp án:

Vì Mx AB AMx=90

Xét △AMC có 

AMC=90 (cmt)

MA = MC (gt)

MAC=MCA=45 (tính chất tam giác vuông cân)

DCE=MCA=45° (đối đỉnh)

Xét △BMD có 

BMD=90 (cmt)

MB = MD (gt)

MBD=MDB=45 (tính chất tam giác vuông cân)

Xét △CDE có: CDE=DCE=45°

CDE+DCE=90 

DEC=90 

Lại có: DEC + AEB=180° (kề bù)

AEB=180°- DEC= 180°-90=90 

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A có A=40. Đường trung trực của AB cắt đường thẳng BC tại D. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE=CD. Tính các góc của tam giác BDE.

Đáp án:

△ABC cân tại A có A=40

ABC=ACB=180-402=70

ACD=180-ACB

=180-70=110

Gọi H là giao điểm của đường trung trực đoạn AB với AB.

△ABD có trung tuyến DH đồng thời là đường cao nên cân tại D

DAB=ABD=70A2=70-40=30

Xét △ACD có ADB=180-ACD+A2=180-110+30=40

Mặt khác EAB+BAD=180 (kề bù)

EAB=180-BAD=180-70=110

Ta có △EAB=△DCA (c.g.c) BED=ADB=40

EBD=180-(BED+BDE)=180-40+40=100. 

Bài 6. Cho góc xOy=40.M nằm trong góc xOy, lấy các điểm N và P sao cho Ox là đường trung trực của MN,Oy là đường trung trực của MP. Tính các góc của tam giác ONP.

Đáp án:

O thuộc trung trực của MN

nên OM=ON

Tương tự O thuộc trung trực của MP

nên OM=OP

Từ (1) (2)⇒ON=OP hay ΔNOP cân tại O

Dễ thấy ΔOHN=ΔOHM (c.c.c)

O1=O2 tương tự ta có O3=O4

mà O2+O3=xOy=40

O1+O2+O3+O4=MOP=80

NOP cân tại O⇒N1=P1=180-MOP2=180-802=50.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Biết rằng AH=BC, hãy tính số đo của góc BAC.

Đáp án:

Ta thấy BAC90, vì trái lại thì H≡A : vô lí.
Trường hợp 1: BAC<90 (hình a).
Xét hai tam giác vuông AKH và BKC, có:

AH=BC(gt) 

HAK=KBC =90-C 

ΔAKH=ΔBKC (ch - gn)
⇒AK=BK (hai cạnh tương ứng)
⇒ΔAKB vuông cân tại K.
Vậy BAC=45.
Trương hợp 2: BAC>90 (hình b).
Chứng minh tương tự trường hợp 1 ta được KH=BK và từ đó suy ra: BHK=45, HBA=45.
Vì A là trực tâm △BHC nên CA⊥HB.
△ABI vuông tại I có ABI=45 nên BAI=45, suy ra BAC=135.

Bài 2: Cho tam giác ABC có A tù. Tia phân giác của B và C cắt nhau tại O. Lấy điểm E trên cạnh AB. Từ E kẻ EP⊥BO(P∈BC). Từ P kẻ PF⊥OC(F∈AC). Chứng minh rằng:

1. a) OB và OC là đường trung trực của các đoạn thẳng EP và PF.
2. b) BE + CF = BC.
3. c) Khi E di chuyển trên cạnh AB thì đường trung trực của EF luôn đi qua một điểm cố định.

Đáp án:

1. a) Tam giác BEP có đường phân giác BO cũng là đường cao nên là tam giác cân. Vậy BO là đường trung trực của EP.

Tương tự, CO là đường trung trực của PF. 

1. b) Vì BE = BP, CF = PC nên BE + CF = BC.
2. c) Theo chứng minh a) O nằm trên đường trung trực của EP nên OE = OP, O nằm trên đường trung trực của FP nên OP = OF.

Vậy OE = OP = OF nên O nằm trên đường trung trực của EF. Khi E di động trên AB nhưng AABC cố định thì O cố định. Đường trung trực của EF luôn đi qua O cố định.