Đáp án Toán 10 chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 9 (P2)

Bài 12: Viết phương trình chính tắc của hypebol thoả mãn từng điều kiện sau:

1. Đỉnh (3; 0), tiêu điểm (5; 0);
2. Độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6.

Đáp án:

5. Đỉnh (3; 0) ⇒a = 3; tiêu điểm (5; 0) ⇒ c = 5.

⇒ b =   = 4

⇒ Phương trình hypebol là:  =1.

1. Ta có: 2a = 8; 2b = 6 ⇒a = 4; b = 3

⇒ Phương trình hypebol là:  =1.

Bài 13: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

1. y²=12x;                       b. y²=x.

Đáp án:

1. Phương trình parabol có dạng: y²=2px ⇒p = 6

⇒ Tọa độ tiêu điểm là (3; 0) và phương trình đường chuẩn là x+3=0.

1. Phương trình parabol có dạng: y²=2px ⇒p = 

⇒ Tọa độ tiêu điểm là ( ; 0) và phương trình đường chuẩn là x+=0.

Bài 14: Viết phương trình chính tắc của parabol thảo mãn từng điều kiện sau:

1. Tiêu điểm (4; 0);
2. Đường chuẩn có phương trình x=−;
3. Đi qua điểm (1; 4);
4. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8.

Đáp án:

1. Tiêu điểm (4; 0) ⇒p = 8

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²=16x.

1. Đường chuẩn có phương trình x=− ⇒p = 

⇒ Phương trình parabol (P) là: y² = x.

1. Phương trình parabol (P) có dạng: y²=2px.

Vì (P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình của (P), ta được:

4² = 2p. 1 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²=16x.

1. Ta có: F(; 0), phương trình đường chuẩn Δ: x +=0

d(F, Δ) = 8 ⇔  = 8 ⇔ p = 8

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²=16x.

Bài 15: Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như Hình 1, có tiêu điểm cách đỉnh 5cm. Cho biết bề sâu của gương là 45cm, tính khoảng cách AB.

Đáp án:

Tiêu điểm cách đỉnh 5 cm ⇒ Tiêu điểm có tọa độ (5; 0) ⇒ p = 10

⇒ Phương trình parabol (P): y² = 20x

Ta có điểm A(45; y_A) ∈ (P) nên thay tọa độ A vào phương trình (P), ta được:

 = 20. 45 ⇒ y_A = 30

⇒ AB = 2. 30 = 60 (cm).

Vậy khoảng cách AB là 60cm.

Bài 16: Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol (Hình 2). Nước sẽ chảy thông qua một dường ống nằm ở tiêu điểm của parabol.

1. Viết phương trình chính tắc của parabol.
2. Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol.

Đáp án:

1. Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Phương trình parabol (P) có dạng:

Ta có: A(1; 3)  (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

 = 2p. 1  p = 

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: .

1. b) Vì đường ống nằm ở tiêu điểm của (P) nên khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol bằng: = = 2,25(m)

Bài 17: Cổng chào của một thành phố có dạng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192m (Hình 3). Từ một điểm M trên thân cổng, người ta đo được khoảng cách đến mặt đất là 2 m và khoảng cách từ chân dường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến chân cổng gần nhất là 0,5m Tính chiều cao của cổng.

Đáp án:

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Gọi phương trình parabol là .

Gọi chiều cao của cổng là OH = h.

Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 192  AH = 96 

 điểm A có tọa độ (h; 96).

Ta có: AC = 0,5; DH = MC = 2  điểm M có tọa độ (h - 2; 95,5).

Vì A và M thuộc parabol (P) nên ta có hệ phương trình:

   =   h =   192,5 (m)

Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5 m.

Bài 18: Một người đứng ở giữa một tấm ván gỗ đặt trên một giàn giáo để sơn tường nhà. Biết rằng giàn giáo dài 16m và độ võng tại tâm của ván gỗ (điểm ở giữa ván gỗ) là 3cm (Hình 4). Cho biết đường cong của ván gỗ có hình parabol.

1. Giả sử tấm ván gỗ trùng với đỉnh của parabol, tìm phương trình chính tắc của parabol.
2. Điểm có độ võng 1 cm cách tấm ván gỗ bao xa?

Đáp án:

1. Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Gọi phương trình của parabol (P) có dạng: y²=2px.                                    

Ta có: AB = 16, OH = 3 ⇒ điểm A có tọa độ (3; 8).

Vì A thuộc (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

8² = 2p. 3 ⇒ p = 

⇒ Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y²= x.

1. Ta có: MI = 1 ⇒M(2; y_M)

Vì M ∈ (P) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình (P), ta được: 

 = . 2 ⇒ y_M = 

⇒ M(2; ) ⇒ OM =≈ 6,83.

Vậy điểm M có độ võng 1 cm cách tấm ván gỗ khoảng 6,83m.