BÀI 4. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CỦA MẪU SỐ LIỆU

KHỞI ĐỘNG

Theo bạn, địa phương nào có khí hậu ôn hòa hơn?

Đáp án:

Lâm Đồng có khí hậu ôn hòa hơn.

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ

Bài 1: Thời gian hoàn thành bài chạy 5 km (tính theo phủ) của hai nhóm thanh niên được cho ở bảng sau:

1. Hãy tính độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong từng nhóm.
2. Nhóm nào có thành tích chạy đồng đều hơn?

Đáp án:

1. Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 1 là: 47 - 17 = 30 (s)

    Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 2 là: 32 - 29 = 3 (s)

1. Nhóm 2 có thành tích chạy đồng đều hơn.

Bài 2: Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

1. 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7                            b. 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15

Đáp án:

19. Mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm là: 2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19.

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 - 2 = 17.
• Cỡ mẫu n = 9 là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 10.
• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7. Do đó Q₁ = (2 + 5) = 3,5.
• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19. Do đó Q₃ =  (13 + 15) = 14.
• Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ΔQ = 14 - 3,5 = 10,5.

19. Mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm là: 1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19.

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 - 1 = 18.
• Cỡ mẫu n = 10 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ =  (9 + 10) = 9,5.
• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9. Do đó, Q₁ = 5.
• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19. Do đó Q₃ = 15.
• Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ΔQ = 15 - 5 = 10.

Bài 3: Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của hai tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học).

1. Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng.
2. Hãy cho biết trong một năm, nhiệt độ ở địa phương nào ít thay đổi hơn.

Đáp án:

1. Sắp xếp nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu theo thứ tự không giảm, ta được:

14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7

• Khoảng biến thiên của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu là: 24,7 - 14, 2 = 10,5
• Cỡ mẫu n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ vị phân thứ hai là Q2 =  (21,0 + 22,7) = 21,85.
• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0. Do đó Q1 =  (18,6 + 18,8) = 18,7
• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7. Do đó Q3 =  (23,6 + 24,2) = 23,9
• Khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu là: ΔQ = 23,9 - 18,7 = 5,2.

Sắp xếp nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lâm Đồng theo thứu tự không giảm, ta được: 

16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6; 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3

• Khoảng biên thiên của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lâm Đồng là R = 20,3 - 16,0 = 4,3
• Cỡ mẫu n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ vị phân thứ hai là Q2 =  (18,6 + 18,7) = 18,65.
• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6. Do đó Q1 =  (17,4 + 17,5) = 17,45.
• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3. Do đó Q3 =  (19,5 + 19,8) = 19,65.
• Khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lâm Đồng là: ΔQ = 19,65 - 17,45 = 2,2.

1. Nhận thấy khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lâm Đồng nhỏ hơn tỉnh Lai Châu nên nhiệt độ ở Lâm Đồng ít thay đổi trong một năm hơn.

Bài 4: Hãy tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu: 37; 12; 3; 9; 10; 9; 12; 3; 10.

Đáp án:

Sắp xếp số liệu trong mẫu theo thứ tự giảm dần là: 3; 3; 9; 9; 10; 10; 12; 12; 37.

• Cỡ mẫu n = 9 là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q2 = 10.
• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 3; 3; 9; 9. Do đó Q1 = (3 + 9) = 6
• Tứ phân vị thứ hai là trung vị của mẫu: 10; 12; 12; 37. Do đó Q3 = 12
• Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ΔQ = 12 - 6 = 6

Xét Q3 + 1,5ΔQ = 12 + 1,5. 6 = 21 và Q1 - 1,5ΔQ = 6 - 1,5. 6 = -3

Vậy mẫu có một giá trị ngoại lệ là 37.

2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

Bài 1: Hai cung thủ A và B đã ghi lại kết quả của từng lần bắn của mình ở bảng sau:

1. Tính kết quả trung bình của mỗi cung thủ trên.
2. Cung thủ nào có kết quả các lần bắn ổn định hơn?

Đáp án:

1. Kết quả trung bình của cung thủ A là: (8 + 9 + 10 + 7 + 6+ 10 + 6 + 7 + 9 + 8) = 8

    Kết quả trung bình của cung thủ B là  (10 + 6 +8 + 7 + 9 + 9 + 8 + 7 + 8 + 8) = 8

1. Cung thủ B có các kết quả các lần bắn ổn định hơn.

Bài 2: Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau.

1. Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh
2. Nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.

Đáp án:

1. a) Trung bình số giờ nắng ở Tuyên Quang là: 

 =  (25 + 89 + 72 + 117 + 106 + 177 + 156 + 203 + 227 + 146 + 117 + 145)  131,7

Trung bình số giờ nắng ở Cà Mau là:

 =  (180 + 223 + 257 + 245 + 191 + 111 + 141 + 134 + 130 + 122 + 157 + 173) = 172

Phương sai của số giờ nắng ở Tuyên Quang là:

 =  ( +  +  +  +  +  +  +  +  +  +  + ) -   2912,4

Độ lệch chuẩn của số giờ nắng ở Tuyên Quang là:  =  =   54.

Phương sai của số giờ nắng ở Cà Mau là:

  =  ( +  +  +  +  +  +  +  +  +  +  + ) -  = 2183

Độ lệch chuẩn của số giờ nắng ở Cà Mau là:  =  =   46,7.

1. b) Nhìn chung:

Ở Tuyên Quang, tổng số giờ nắng có xu hướng tăng dần từ đầu năm đến giữa năm và giảm dần về cuối năm.

Ở Cà Mau, tổng số giờ nắng giảm dần từ đầu năm đến giữa năm và tăng dần về cuối năm.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Hãy chọn ra ngẫu nhiên trong lớp ra 5 bạn nam và 5 bạn nữ rồi đo chiều coa các bạn đó. So sánh xem chiều cao của các bạn nam hay các bạn nữ đồng đều hơn.

Đáp án:

HS tự thực hiện.

Bài 2. Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ của các mẫu số liệu sau:

4. 6; 8; 3; 4; 5; 6; 7; 2; 4.                                      b. 13; 37; 64; 12; 26; 43; 29; 23.

Đáp án:

1. a) Số trung bình của mẫu số liệu trên là: (6 + 8 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 + 4) : 9 = 5

Phương sai của mẫu số liệu trên là:  =  ( +  +  +  +  +  +  +  + ) -  = 

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: S =  =   1,8

Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm, ta được: 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 8 - 2 = 6
• Cỡ mẫu n = 9 là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là = 5
• Tứ vị phân thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 3; 4; 4. Do đó =  (3 + 4) = 3,5
• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 6; 6; 7; 8. Do đó =  (6 + 7) = 6,5
• Khoảng tứ phân vị của mẫu là: = 6,5 - 3,5 = 3.

Ta có:  + 1,5 = 6,5 + 1,5. 3 = 11 và  - 1,5 = 3,5 - 1,5.3 = -1.

Vậy mẫu số liệu trên không có giá trị nào ngoại lệ.

1. b) Số trung bình của mẫu số liệu trên là: (13 + 37 + 64 + 12 + 26 + 43 + 29 + 23) : 8 = 30,875

Phương sai của mẫu số liệu trên là:  =  ( +  +  +  +  +  +  + ) -   255,9

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: S =  =   16

Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm, ta được: 12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64.

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 64 - 12 = 52
• Cỡ mẫu n = 8 là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là =  (26 + 29) = 27,5
• Tứ vị phân thứ nhất là trung vị của mẫu: 12; 13; 23; 26. Do đó =  (13 + 23) = 18
• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 29; 37; 43; 64. Do đó =  (37 + 43) = 40
• Khoảng tứ phân vị của mẫu là: = 40 - 18 = 22

Ta có:  + 1,5 = 40 + 1,5. 22 = 73 và  - 1,5 = 18 - 1,5.22 = -15.

Vậy mẫu không có giá trị ngoại lệ nào.