BÀI 4. BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

1. ELIP

Bài 1: Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm F₁ và F2. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn F₁F₂. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.

Cho biết 2c là khoảng cách F₁F₂ và 2a + 2c là độ dài của vòng dây. Tính tổng hai khoảng cách F₁M và F₂M.

Đáp án:

F₁M + F₂M = 2a.

Bài 2: Cho elip (E) có các tiêu điểm F₁ và F₂ và đặt F₁F₂ = 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁(-c; 0) và F₂(c; 0). Xét điểm M(x; y).

1. Tính F₁M và F₂M theo x, y và c.
2. Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈(E) ⇔ = 2a

Đáp án:

1. a) = = 

 =  = 

1. b) Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho + = 2a

  = 2a.

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của elip trong Hình 4.

Đáp án:

Ta có: a = 3; b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là:  +  = 1

Bài 4: Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao 4m, rộng 10m (Hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Đáp án:

Ta có: 2a = 10  a = 5; b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:  +  = 1

2. HYPEBOL

Bài 1: Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm F₁ và F₂. Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d - l = 2a nhỏ hơn khoảng cách F₁F₂ (Hình 6a).

Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm F2. Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm F₁ và đoạn thẳng BA có thể quay quanh F₁. Tựa đầu bút chì M vào đoạn dây, di chuyển M  trên tấm bìa và giữ một đường (H) (xem Hình 6b).

1. Chứng tỏ rằng khi M di động, ta luôn có MF₁- MF₂= 2a.
2. Vẫn đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F₁, đầu B của thước trùng với F₂sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F₂và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (Hình 6c). Tính MF₂ - MF₁.

Đáp án:

1. a) Ta có: + MA = l MA = l - 

Lại có  + MA = d   + l -  = d   -  = d - l = 2a

Vậy  -  = 2a

1. b) - = 2a

Bài 2: Cho hypebol (H) có các tiêu điểm F₁ và F₂ và đặt F₁F₂ = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi và chỉ khi |F₁M - F₂M| = 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁ = (-c; 0) và F₂ = (c; 0). Xét điểm M(x; y).

1. Tính F₁M và F₂M theo x, y và c.
2. Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈(H) ⇔|| = 2a.

Đáp án:

1. a) = = 

 =  = 

1. b) Hypebol (H) là tâp hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho || = 2a

 || = 2a.

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục ảo bằng 6.

Đáp án:

Ta có: 2c = 10  c = 5; 2b = 6  b = 3

 a =  =  = 4

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là:  -  = 1

Bài 4: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là một hypebol có phương trình  -  = 1 (Hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120m và khoảng cách từ nóc thấp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp.

Đáp án:

Theo bài ra ta có, khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bẳng 40m, khoảng cách từ tâm O đến đáy bằng 80m.

Thay y = 40 vào phương trình (H), ta được:  -  = 1   = 2.   x =  

 Bán kính đường tròn nóc bằng  m.

Thay y = 80 vào phương trình (H), ta được:   -  = 1   = 5.   x =  

 Bán kính đường tròn đáy bằng  m

3. PARABOL

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm F(0; 12), đường thẳng Δ: y + 12 = 0 và điểm M(x; y). Để tìm hệ thức liên hệ giữa x và y sao cho M cách đều F và Δ, một học sinh đã làm như sau:

• Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M lên Δ):

MF =   , MH = d(M, Δ) = |y + |

• Điều kiện để M cách đều F và Δ:

MF = d(M, Δ) ⇔    =  |y + |

⇔  =   ⇔ x² = 2y ⇔ y = x²  (*)

Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.

Đáp án:

Đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được là một parabol.

Bài 2: Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên p > 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F(; 0) và Δ: x +  = 0.

Xét điểm M(x; y).

1. Tính MF và d(M, Δ).
2. Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈(P) ⇔ = |x + |

Đáp án:

1. a) MF = = = 

d(M, ) = |x + |

1. b) Ta có (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và nên MF = d(M, )

  = |x + |

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0

Đáp án:

(P) có đường chuẩn : x + 1 = 0  p = 2

Vậy (P) có phương trình  = 4x

Bài 4: Một cổng chào có hình parabol cao 10m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2m.

Đáp án:

Chọ hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi phương trình của parabol là  = 2px.

Ta có chiều cao của cổng là OC = 10 m  C(10; 0)

Bề rộng của cổng tại chân cổng là AB = 5m  AC = 2,5 m  A(10; 2,5)

Vì A(10; 2,5)  (P) nên thay tọa độ của A vào phương trình (P), ta được:

 = 2p. 10

 p =   (P):  = x

Thay tọa độ điểm D(2; a) vào phương trình (P), ta được:  = . 2  a =

Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là: 2a = 2.  =  (m).