Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

BÀI 17.DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Bài 1: Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:

A = 0,5x²             B = 1−x²          C = x²+x+1                   D = (1-x)(2x+1).

Đáp án:

- Chúng đều là đa thức (của biến )

- Bậc của đa thức là bậc 2.

Bài 2: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai      

Đáp án:

Đáp án C

Bài 3: Cho hàm số bậc hai y=f(x)=x²−4x+3.

1. Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.
2. Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng (−∞;1),(1;3);(3;+∞), đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?
3. Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Đáp án:

1. a)

, , , , .

 cùng dấu với ,

 trái dấu với .

1. b) +) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

    +)  đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

    +)  đồ thị nằm phía trên trục Ox.

1. c) +) : và cùng dấu với nhau

    +)   và  trái dấu với nhau

    +)   và  cùng dấu với nhau.

Bài 4: Cho đồ thị hàm số y=g(x)=−2x²+x+3 như Hình 6.18.

1. Xét trên từng khoảng (−∞;1);(−1;32);(32;+∞), đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox?
2. Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Đáp án:

a)

+)  đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

+)  đồ thị nằm phía trên trục Ox.

+)  đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

1. b)

+) :  và  cùng dấu với nhau

+)  và  trái dấu với nhau

+)   và  cùng dấu với nhau.

Bài 5: Nêu nội dung thay vào ô có dấu ? trong bảng sau cho thích hợp:

• Trường hợp a > 0
• Trường hợp a < 0

Đáp án: 

Bài 6 : Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

Đáp án: 

1. a)

 và  nên  với mọi .

1. b)

 và  nên f(x) có nghiệm kép  và  với mọi .

1. c)

  và có hai nghiệm phân biệt là , . Ta có bảng xét dấu sau:

 với mọi  và  với mọi .

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1: Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m², hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích S(x) = −2x²+20x với 48.

Đáp án: 

Bài 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

1. −5x²+x−1≤0       b. x² -8x+16≤0           c. x²−x-6>0 

Đáp án:

1. a) Tam thức

có:  và  nên  luôn âm với mọi .

Tập nghiệm

1. b) Tam thức

có  và  nên  luôn dương với mọi .

Bất phương trình có nghiệm duy nhất là .

1. c) Tam thức

có  nên  có hai nghiệm là .

Mặt khác , do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm

Bài 3: Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai h(t) = −4,9t²+20t+1, ở độ cao h(t) tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất?

Đáp án: 

Xét bất phương trình

Nghiệm của phương trình  là  và

Do đó nghiệm của bất phương trình là 

Vậy khoảng thời điểm  (s) trong quá trình bay của quả bóng thì nó sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 6.15: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

1. 3x²−4x+1
2. x²+2x+1
3. −x²+3x−2
4. −x²+x−1

Đáp án:

1. a) có hai nghiệm và . Vì  nên  khi  và  khi
2. b) với mọi và
3. c) có hai nghiệm và . Vì  nên  khi  và  khi
4. d) với mọi

Bài 6.16: Giải các bất phương trình bậc hai:

1. x²−1≥0
2. x²−2x−1<0
3. −3x²+12x+1≤0
4. 5x²+x+1≥0  

Đáp án:

1. a)

Ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm là .

1. b)

Ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm là .

1. c)

Ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm là .

1. d)

Vì  và  nên  với mọi .

Tập nghiệm  .

Bài 6.17: Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi  x∈R.                                 x²+(m+1)x+2m+3

Đáp án:

Vì  nên tam thức bậc hai đã cho dương với mọi  khi và chỉ khi

 ,

tức là .

Bài 6.18 : Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v₀ = 20m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

Đáp án:

Độ cao của vật so với mặt đất được cho bởi công thức

Vật cách mặt đất không quá 100m khi và chỉ khi , tức là

.   Do

Bài 6.19: Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x. Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Đáp án:

Vì điểm M nằm giữa A và B nên

Gọi  lần lượt là diện tích hình tròn đường kính AB, AM và MB.

Ta có:

Do đó, từ điều kiện  ta được bất phương trình bậc hai

Kết hợp với điều kiện , ta được