Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

BÀI 20.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

1.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng

                Δ₁: x - 2y + 3 = 0,

                Δ₂: 3x - y - 1 = 0.

1. Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
2. Giải hệ 
3. Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của Δ₁và Δ₂với nghiệm của hệ phương trình trên.

Đáp án:

1. a) Thay vào phương trình đường thẳng ta được:

 (đúng)  

Thay  vào phương trình đường thẳng  ta được:

 (đúng)  

Vậy điểm  thuộc cả hai đường thẳng trên.

1. b)

Vậy hệ phương trình có nghiệm

1. c) Toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình trên.

Bài 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

Đáp án:

1. a) Ta có: , do đó hai vectơ pháp tuyến không cùng phương.

Vậy hai đường thẳng  và  cắt nhau.

1. b) Ta có: , do đó hai vectơ pháp tuyến cùng phương và song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm  thuộc  nhưng không thuộc

Vậy hai đường thẳng  và  song song.

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Hai đường thẳng Δ1 và Δ2 cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6.) Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Đáp án: 

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh bằng nhau.

Bài 2: Cho hai đường thẳng cắt nhau Δ1 và Δ2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến  ,. Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

1. Góc φ  và
2. cosφ và

Đáp án:

1. a)
2. b)

Bài 3: Tính góc giữa hai đường thẳng:    Δ₁: x + 3y + 2 = 0 và Δ₂: y = 3x + 1

Đáp án: 

Ta có:

Gọi   là góc giữa hai đường thẳng  và . Ta có:

Bài 4 : Tính góc giữa hai đường thẳng: 

Đáp án:

Gọi   là góc giữa hai đường thẳng  và . Ta có:

Bài 5: Cho đường thẳng Δ: y = ax + b, với a ≠ 0.

1. Chứng minh rằng Δ cắt trục hoành.
2. Lập phương trình đường thẳng Δ0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với Δ.
3. Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa αΔ và αΔ0.
4. Gọi M là giao điểm của Δ0 với nửa đường tròn đơn vị và x₀là hoành độ của M. Tính tung độ M theo  x₀và a. Từ đó, chứng minh rằng tanαΔ=a.

Đáp án:

1. a) Cho

 luôn cắt trục hoành tại điểm có toạ độ

1. b) Vì đường thẳng đi qua điểm O(0;0) nên có dạng: .

Mà   song song hoặc trùng với  nên

Vậy đường thẳng

1. c) Do đường thẳng song song với Δ nên . (hai góc ở vị trí đồng vị).
2. d) Gọi tọa độ điểm

Do  thuộc  nên  

Có  

Vậy .

3.KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1 : Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến  (a;b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ

1. Chứng minh rằng: 
2. Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng:
3. Chứng minh rằng HM = 

Đáp án:

1. a) Do và  có cùng phương nên  hoặc
2. b)

Ta có:

Mà  nên ta có:

Vậy

1. c) Từ câu a và câu b ta có:

Suy ra

Bài 2 : Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ và giải thích vì sao kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

Đáp án:

- Đo trực tiếp có: khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là độ dài đoạn MH bằng 2 đơn vị độ dài.

- Kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4, vì đây điểm M có tọa độ trùng với điểm M của ví dụ 4 và đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong ví dụ 4.

Bài 3 : Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng 

Đáp án:

Phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua  có vectơ pháp tuyến  là :         hay  

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M đến  ta có:

Vậy khoảng cách từ M đến  là 1.

Bài 4 : Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m.

1. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1m thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
2. Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?

Đáp án:

1. a) Tọa độ các điểm:

Đường thẳng  có vecto chỉ phương 

Chọn vectơ pháp tuyến là: )

Phương trình tổng quát của đường thẳng EF là:

hay .

1. b) Để lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt thì 10,7 phải lớn hơn khoảng cách từ B đến đường thẳng EF.

Áp dụng công thức khoảng cách từ B đến EF là:

Vậy lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 7.7: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

Đáp án:

1. a) Xét hệ phương trình:

 Hệ có vô số nghiệm

1. b) Xét hệ phương trình:

 Hệ vô nghiệm

1. c) Xét hệ phương trình:

 Hệ có 1 nghiệm duy nhất  cắt nhau.

Bài 7.8: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

Đáp án:

1. a)

Gọi   là góc giữa hai đường thẳng  và . Ta có:

1. b)

Gọi   là góc giữa hai đường thẳng  và . Ta có:

Bài 7.9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0 ;-2) và đường thẳng Δ: x + y - 4 = 0.

1. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ
2. Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với Δ.
3. Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với Δ.

Đáp án:

1. a)

Khoảng cách từ  đến  là:

1. b) Đường thẳng song song với

Phương trình đường thẳng  đi qua  và có  là:

1. c) Đường thẳng vuông góc với

Phương trình đường thẳng  đi qua  và có  là:

Bài 7.10: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A (1; 0), B (3; 2) và C (-2; 1).

1. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
2. Tính diện tích tam giác ABC.

Đáp án:

1. a) Ta có:

Phương trình đường thẳng BC đi qua B(3;2) có  là:

Độ dài đường cao AH của tam giác ABC hạ từ đỉnh A là:

1. b) Ta có:

Diện tích tam giác ABC là:

Bài 7.11: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.

Đáp án:

Bài 7.12: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Đáp án:

Gọi J là vị trí âm thanh phát đi. Ta có J cách đều O, A, B. Do đó J là giao của hai đường thẳng trung trực  tương ứng của OA, OB.

Phương trình của  đi qua  là trung điểm OA và có  là: 

Phương trình của  đi qua  là trung điểm AB và có  là: