Giáo án điện tử chuyên đề Toán 12 kết nối Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Vào năm 1658, nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat đã đưa ra một nguyên lí cơ bản của quang hình học mà hiện nay gọi là nguyên lí Fermat (theo britannica.com). Từ nguyên lí này có thể rút ra được các định luật cơ bản khác của quang hình học như định luật phản xạ, định luật khúc xạ ánh sáng....

KHỞI ĐỘNG

Nguyên lí Fermat và ứng dụng của nó trong Vật lí là một ví dụ điển hình mô tả rõ tầm quan trọng của bài toán tối ưu trong khoa học, kĩ thuật. Trong thực tiễn cuộc sống, cũng có rất nhiều tình huống xuất hiện các bài toán tối ưu. Ví dụ như: một doanh nhân muốn giảm thiểu chi phí và tối đa hoá lợi nhuận kinh doanh; một du khách muốn giảm thiểu thời gian di chuyển,... Trong bài này, chúng ta sẽ vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải một số bài toán tối ưu trong thực tiễn, đặc biệt là các bài toán tối ưu trong kinh tế.

CHUYÊN ĐỀ 2: ỨNG DỤNG TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ

BÀI TOÁN TỐI ƯU

BÀI 4: VẬN DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ

BÀI TOÁN TỐI ƯU

NỘI DUNG BÀI HỌC

• Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn
• Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế

1. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU

TRONG THỰC TIỄN

HĐ: Một người đánh cá đang ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông trên đường bờ biển thẳng theo phương bắc nam. Nhà anh ấy nằm bên bờ biển, cách vị trí điểm P khoảng 6 km về phía bắc.

Anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc 3 km/h và đi bộ với vận tốc 5 km/h (giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể so với vận tốc mà người đánh cá chèo thuyền). Anh ấy dự kiến sẽ chèo thuyền thẳng đến một điểm Q đâu đó trên bờ biển về phía bắc điểm P, với 0 ≤ PQ ≤ 6 (km), rồi đi bộ quãng đường còn lại để về nhà.

a) Hãy chọn các kí hiệu cho các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết trong bài toán trên.

b) Tìm các mối quan hệ giữa các kí hiệu trong câu a.

c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?

d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm Q, rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?

Giải:

a) Kí hiệu là quãng đường và vận tốc chèo thuyền của người đánh cá khi chèo thuyền.

Kí hiệu là quãng đường và vận tốc của người đánh cá khi đi bộ dọc bờ biển.

Ta có .

Kí hiệu .

b) Ta có .

Vì tam giác vuông tại nên

Giải:

c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến rồi đi bộ về nhà thì

.

Giải:

d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm rồi đi bộ về nhà thì ta có

.

Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm ở phía bắc điểm , với , rồi đi bộ

Các bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm

Bước 1. Hiểu vấn đề:

Cần xác định rõ: Điều chưa biết là gì? Các đại lượng đã cho là gì? Các điều kiện đã cho là gì?

Bước 2. Giới thiệu kí hiệu:

Gán một kí hiệu cho đại lượng sẽ được cực đại hoá hoặc cực tiểu hoá (ví dụ: ,...). Đồng thời chọn các kí hiệu cho các đại lượng chưa biết khác (ví dụ

Bước 3. Tìm mối quan hệ giữa các biến:

Thể hiện các thông tin của bài toán dưới dạng các biến số (chọn trong các kí hiệu từ Bước 2). Sử dụng thông tin đã cho để tìm mối quan hệ (ở dạng phương trình) giữa các biến này. Sau đó, sẽ biểu thị mối quan hệ đó dưới dạng một hàm số, chẳng hạn như ). Tìm miền xác định của hàm số này.

Bước 4. Phát biểu bài toán:

Phát biểu lại bài toán dưới dạng bài toán tối ưu của hàm số (một biến số).

Bước 5. Giải quyết vấn đề:

Sử dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toàn tối ưu này (ví dụ sử dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số). Thể hiện lời giải trong ngữ cảnh của bài toán thực tiễn.

Ví dụ 1. Xét bài toán ở HĐ1. Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Để có thể về nhà trong thời gian ngắn nhất, người đánh cá nên chèo thuyền đến điểm cách điểm về phía bắc bao xa?

b) Nếu chiếc thuyền được gắn thêm động cơ và chạy với vận tốc 5 km/h thì anh ấy có thể lựa chọn quãng đường đi ngắn nhất như thế nào?

Giải:

Kí hiệu là quãng đường người đánh cá chèo thuyền, là vận tốc chèo thuyền.

Kí hiệu là quãng đường người đánh cá đi bộ dọc bờ biển và là vận tốc đi bộ.

a) Vì điểm ở phía bắc điểm với (km), nên (km).

Do tam giác vuông tại nên

Từ HĐ1, ta có km/h, km/h.

Giải:

Tổng thời gian để chèo thuyền và đi bộ về nhà của người đánh cá là

Miền khảo sát của hàm số là

Chú ý rằng, nếu thì trùng với , nếu thì trùng với

Giải:

Đạo hàm của hàm là

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

Giải:

Vậy để có thể về nhà trong thời gian ngắn nhất, anh ấy nên chèo thuyền đến điểm Q cách P về phía bắc 1,5 km.

Giải:

Khi đó

Hàm số nghịch biến trên đoạn nên giá trị nhỏ nhất của đạt được khi tức là khi Q trùng B.

Vậy nếu chiếc thuyền được gắn thêm động cơ và chạy với vận tốc 5 km/h thì anh ấy có thể lựa chọn quãng đường đi ngắn nhất là AB, tức là đi thuyền thẳng từ A về B.

Luyện tập 1

Một vật được ném từ mặt đất lên trời xiên góc so với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu m/s (H.2.10).

Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình

ở đó (mét) là khoảng cách vật bay được theo phương ngang từ điểm ném, (mét) là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, là gia tốc trọng trường (theo Vật lí đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016).

a) Tính độ cao nhất của vật trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà vật đạt được độ cao đó (giả sử gia tốc trọng trường là m).

b) Xác định góc ném để tầm ném xa của vật đạt giá trị lớn nhất.

Giải:

Hàm số có dạng của hàm số bậc hai biến với hệ số cao nhất âm, do đó đồ thị hàm số là một đường parabol có đỉnh ở trên.

Độ cao nhất của vật trên quỹ đạo ứng với tung độ đỉnh của parabol.

Thời điểm vật đạt được độ cao lớn nhất là

Giải:

b) Tầm ném xa trong chuyển động ném xiên là

Ví dụ 2. (Định luật phản xạ ánh sáng)

Xét sự phản xạ ánh sáng trên một gương phẳng: Tia sáng đi từ điểm đến điểm trên gương phẳng, sau đó bị phản xạ đến điểm (H.2.11). Theo nguyên lí Fermat, tia sáng di chuyển sao cho đường truyền là ngắn nhất. Chứng minh rằng khi đó góc tới bằng góc phản xạ .

Giải:

Theo nguyên lí Fermat, khi đường truyền ngắn nhất thì mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng gương.

Mặt phẳng qua và vuông góc với gương phẳng, cắt gương phẳng theo đường thẳng . Gọi hình chiếu của xuống gương phẳng lần lượt là

Đặt và không đổi.

Giả sử điểm tuỳ ý trên , nằm trong đoạn sao cho .

Kí hiệu chiều dài đường gấp khúc là .

Từ hình vẽ ta có

Giải:

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ta tính các giá trị:

Từ đó suy ra, khi đường gấp khúc ngắn nhất thì góc tới bằng góc phản xạ.

Luyện tập 2

(Định luật khúc xạ ánh sáng)

Gọi là vận tốc ánh sáng trong không khí và là vận tốc ánh sáng trong nước. Theo nguyên lí Fermat, một tia sáng di chuyển từ một điểm A trong không khí đến một điểm B trong nước theo đường gấp khúc APB sao cho tổng thời gian di chuyển lànhỏ nhất (H.2.13). Vận dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số (tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB) để chứng

Phương trình này được gọi là Định luật Snell.

Giải:

Kí hiệu tổng thời gian di chuyển từ đến của tia sáng là . Ta có:

Lấy đạo hàm của hàm số ta có

2. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU

TRONG KINH TẾ

Hàm chi phí

Nếu là tổng chi phí mà công ty (doanh nghiệp) phải trả để sản xuất đơn vị hàng hoá thì được gọi là hàm chi phí.

Hàm cầu

Gọi là giá bán mỗi đơn vị hàng hoá khi giao dịch đơn vị hàng hoá. Khi đó được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và hàm số này được kì vọng là hàm giảm theo biến

• Nhận xét:

Hàm doanh thu

Nếu đơn vị hàng hoá được bán với giá mỗi đơn vị thì hàm doanh thu, kí hiệu là , được tính bởi công thức

Hàm lợi nhuận

Nếu đơn vị hàng hoá được bán với giá mỗi đơn vị là thì hàm lợi nhuận, kí hiệu là , được tính bởi công thức

• Nhận xét:

Ví dụ 3. Một cửa hàng đồ điện dân dụng đã bán được 200 máy sấy tóc mỗi tháng với giá mỗi máy là 150 nghìn đồng. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng, đối với mỗi khoản giảm giá 5 nghìn đồng cho người mua, số lượng máy sấy tóc bán ra sẽ tăng thêm 20 chiếc mỗi tháng. a) Tìm hàm cầu và hàm doanh thu.

b) Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu để có doanh thu lớn nhất?

Giải:

Gọi là số lượng máy sấy tóc bán ra trong một tháng với giá là (nghìn đồng),

a) Ta đã biết . Vì mỗi khoản giảm giá 5 nghìn đồng cho người mua, số lượng máy sấy tóc bán ra sẽ tăng thêm 20 chiếc mỗi tháng, nên cho mỗi một chiếc máy

Giải:

b) Để tối đa hoá doanh thu, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm với .

Sử dụng quy tắc xét dấu đạo hàm bậc nhất của hàm số, ta thấy là giá trị lớn nhất của hàm doanh thu, đạt được khi

Khi đó giá của một chiếc máy sấy tóc là nghìn đồng.

Tức là một chiếc máy sấy tóc giảm giá 50 nghìn đồng.

Vậy để tối đa hoá doanh thu, cửa hàng nên giảm giá 50 nghìn đồng.

Khi đó số lượng máy sấy tóc bán ra tăng thêm so với chiếc là (nghìn đồng).

Ví dụ 4. Nhân dịp Ngày Quốc tế phụ nữ 8 – 3, câu lạc bộ mĩ thuật của An muốn tổ chức kinh doanh thiệp chúc mừng ngày 8 – 3 để gây quỹ sinh hoạt cho câu lạc bộ. Mỗi tấm thiệp mua về với giá 8 nghìn đồng. Các bạn trong câu lạc bộ sẽ sáng tác thêm nội dung của thiệp (vẽ them hình ảnh người, hoa cỏ, lời chúc, ... ) và sau đó bán lại. Với mức giá bán 20 nghìn đồng cho 1 tấm thiệp, câu lạc bộ có thể bán được 500 chiếc. Nếu giảm giá bán 1 nghìn đồng mỗi tấm thiệp thì số lượng hàng bán ra tăng thêm 50 chiếc. Vậy câu lạc bộ nên để giá bán như thế nào để gây được nhiều quỹ sinh hoạt nhất?

Giải:

Gọi (nghìn đồng) là số tiền giảm giá cho mỗi tấm thiệp, .

Số lượng tấm thiệp bán ra là: (chiếc).

Hàm chi phí cho tấm thiệp là (nghìn đồng).

Hàm doanh thu cho tấm thiệp là (nghìn đồng).

Khi đó lợi nhuận thu được là

(nghìn đồng).

Để tối đa hoá lợi nhuận, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm với

Ta có khi .

Khi đó (nghìn đồng) là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, đạt được khi .

Tức là mỗi tấm thiệp nên giảm giá 1 nghìn đồng.

Vậy giá bán mới nên là 19 nghìn đồng thì câu lạc bộ sẽ gây được nhiều quỹ sinh hoạt nhất.

Luyện tập 3

Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược kinh doanh một loại xe máy với chi phí mua vào là 27 triệu đồng/chiếc và giá bán ra là 31 triệu đồng/chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe bán ra mỗi năm là 600 chiếc. Nhằm tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Ước tính rằng cứ giảm 1 triệu đồng/chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất?

------------------------------

----------------- Còn tiếp ------------------