Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 7 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương 7 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng sách Toán 10 Cánh diều. Với các ý rõ ràng, nội dung mạch lạc, đi thẳng vào vấn đề hi vọng người đọc sẽ nắm trọn kiến thức trong thời gian rất ngắn. Nội dung chính được tóm tắt ngắn gọn sẽ giúp thầy cô ôn tập củng cố kiến thức cho học sinh. Bộ tài liệu có file tải về. Mời thầy cô kéo xuống tham khảo
CHƯƠNG VII. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
BÀI 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
HĐ1:
Hai đường thẳng trong mặt phẳng thì cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau.
HĐ2:
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 lần lượt có vectơ chỉ phương là u1, u2. Khi đó:
- ∆1 cắt ∆2 khi và chỉ khi u1, u2 không cùng phương.
- ∆1 song song với ∆2 khi và chỉ khi u1, u2 cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.
- ∆1 trùng với ∆2 khi và chỉ khi u1, u2 cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.
Kết luận:
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 lần lượt có vectơ chỉ phương là u1, u2. Khi đó
- ∆1 cắt ∆2 khi và chỉ khi u1, u2 không cùng phương.
- ∆1 song song với ∆2 khi và chỉ khi u1, u2 cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.
- ∆1 trùng với ∆2 khi và chỉ khi u1, u2 cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.
Chú ý:
+ ∆1 vuông góc với ∆2 khi và chỉ khi u1, u2 vuông góc với nhau.
+ Khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, có thể dựa vào cặp vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đó.
Ví dụ 1 (SGK – tr82)
Luyện tập 1:
Ta có: u1=(1;1), u2=(2;2). Ta thấy: u2=2u1.
Chọn điểm A(1; -2) ∆1. Thay toạ độ điểm A vào phương trình đường thẳng ∆2 ta được: t2=12A(1;-2)∈∆2.
Vậy 2 đường thẳng ∆1 và ∆2 trùng nhau.
Nhận xét:
Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có phương trình lần lượt là:
a1x + b1y + c1 và a2x + b2y + c2 = 0
Xét hệ phương trình:
{a1x+b1y+c1=0 a2x+b2y+c2=0 (I)
Khi đó
- ∆1 cắt ∆2 khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất.
- ∆1 song song với ∆2 khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm.
- ∆1 trùng với ∆2 khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm.
Ví dụ 2 (SGK – tr82)
Luyện tập 2:
+ Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và ∆1 là nghiệm của hệ phương trình:
{x+2y-2=0 3x-2y+6=0 ⟺{x=-1 y=32
Vậy d và ∆1 cắt nhau tại một điểm duy nhất.
+ Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:
{x+2y-2=0 x+2y+2=0 ⟺{x+2y=2 x+2y=-2
Hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy d và ∆2 song song với nhau.
+ Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và ∆3 là nghiệm của hệ phương trình:
{x+2y-2=0 2x+4y-4=0 ⇔{x+2y=2 x+2y=2
Hệ phương trình vô số nghiệm.
Vậy d và ∆3 trùng nhau.
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
HĐ3:
+ Trong hình 40a, ta có góc A1 là một góc nhọn.
+ Trong hình 40b, ta có 4 góc tại đỉnh A là góc vuông.
Kết luận:
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc.
+ Nếu hai đường thẳng ∆1 và ∆2 không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong bốn góc tạo thành được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
+ Nếu hai đường thẳng ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau thì ta nói góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng 90o.
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là (∆1, ∆2) hoặc (∆1, ∆2)
Quy ước:
Khi ∆1 song song hoặc trùng với ∆2, ta nói góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng 0o.
Nhận xét:
Góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 90o, tức là (∆1, ∆2) 90o.
HĐ4:
- Độ lớn của góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2 và độ lớn của góc giữa hai vectơ IA,IB có thể bằng nhau hoặc bù nhau.
- + Nếu (IA,IB) 90o thì (∆1, ∆2) = (IA,IB). Do đó, cos(∆1, ∆2) = cos(IA,IB) và cos(IA,IB) 0.
+ Nếu (IA,IB) > 90o thì (∆1, ∆2) = 180o - (IA,IB). Do đó, cos(∆1, ∆2) = -cos(IA,IB) và cos(IA,IB) < 0.
Từ hai trường hợp trên, ta suy ra cos (∆1, ∆2) = cos(IA,IB)
Nhận xét:
Do (u1,u2) = (IA,IB) nên cos(∆1, ∆2) = cos(u1,u2)=u1.u2u1.u2
HĐ5:
Ta có:
cos(∆1, ∆2) = cos u1,u2 = a1a2+b1b2a12+b12.a22+b22
Kết luận:
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là u1=(a1;b1), u2=(a2;b2).
Ta có:
cos(∆1, ∆2) = a1a2+b1b2a12+b12.a22+b22
Nhận xét:
+ ∆1∆2⟺a1a2+b1b2=0
+ Cho hai đường thẳng 1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1, n2. Ta cũng có:
cos(∆1, ∆2) = cos(n1,n2)=n1.n2n1.n2
Ví dụ 3 (SGK – tr84)
Luyện tập 3:
- Đường thẳng ∆1; ∆2 lần lượt có vectơ chỉ phương u1 = (33; 3); u2=(1;0).
cos(∆1,∆2) =33.1+3.0(33)2+32.12+02=336=32.
Vậy (∆1,∆2)=30o
- Đường thẳng ∆1; ∆2 lần lượt có vectơ pháp tuyến n1 = (2; -1); n2=(-1;3).
cos(∆1,∆2) =2.-1+-1.322+(-1)2.(-1)2+32=22.
Vậy (∆1,∆2)=45o.
III. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
HĐ6:
- Do MH vuông góc với đường thẳng ∆ nên ta có vectơ chỉ phương của MH là: u = (2; 1)
- Phương trình tham số của đường thẳng MH đi qua M(-1; 1) có vectơ chỉ phương u = (2; 1) là:
{x=-1+2t y=1+t ⟺x-2y+3=0
- H là giao điểm của MH và đường thẳng ∆.
Xét hệ phương trình:
{x-2y+3=0 2x+y-4=0 ⟺{x=1 y=2
Vậy toạ độ điểm H là: H(1; 2).
Độ dài đoạn thẳng MH là:
MH = 1+12+(2-1)2=5
Kết luận:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) và điểm M(x0; y0). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M, ∆), được tính bởi công thức sau:
d(M, ∆) = ax0+by0+ca2+b2
Chú ý:
Nếu M ∈∆ thì d(M, ∆) = 0
Ví dụ 4 (SGK – tr 85)
Luyện tập 4:
- Ta có:
∆: x-4+y2=1⟺x-2y+4=0
Vậy khoảng cách từ O đến ∆ là:
D(O; ∆) = 1.0-2.0+412+22=455
- Lấy M(0; 1) ∆1
⇒d∆1,∆2=dM,∆2=0-1-112+(-1)2=2