Bài tập file word Toán 10 Kết nối tri thức Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

BÀI 17 : DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI  (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai :

A = x + 2x B = 2x + y C = 2x2 + 3x + 5 D = x2 + 7

Trả lời:

Tam thức bậc hai là : C; D

Bài 2: Cho hàm số bậc hai y = x2 – 5x + 1. Xác định hệ số a. Tính f(1) ; f(2) ; f(5); f(6) và nhận xét dấu của chúng so với dấu của hệ số a

Trả lời:

+) Hệ số a = 1 

+) f(1) = 12 – 5.1 + 1= -3 ( trái dấu với a)

+) f(2) = 22 – 5.2 + 1 = -5 ( trái dấu với a)

+) f(5) = 52 – 5.5 + 1 = 1  ( cùng dấu với a)

+) f(6) = 62 – 5.6 + 1 = 7  ( cùng dấu với a)

Bài 3: Xét dấu của biểu thức sau : f(x) = 3x2 – 2x – 1

Trả lời:

Δ = (-2)2 – 4.3.(-1) = 16 > 0 => f(x) có hai nghiệm phân biệt x = 1 ; x = - 13

Ta có bảng xét dấu :

Vậy f(x) < 0 khi - 13 < x < 1 ; f(x) > 0 khi x < - 13 hoặc x > 1

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Giải bất phương trình sau : 3x2 + 2x + 2 ≤ 0

Trả lời:

Xét tam thức f(x) = 3x2 + 2x + 2 có Δ = 22 – 4.3.2 = - 20 < 0

=> f(x) luôn dương ( cùng dấu với a) 

hay 3x2 + 2x + 2 > 0 với mọi x => bất phương trình 3x2 + 2x + 2 ≤ 0 vô nghiệm

Bài 2: Cho tam thức bậc hai f(x) = -x2 – 4x + 5. Tìm tất cả giá trị của x để f(x) ≥ 0

Trả lời:

f(x) = 0 ⬄ -x2 – 4x + 5 = 0 ⬄ x = 1 ; x = -5

hệ số a = -1 < 0 => f(x) ≥ 0 ⬄ x ∈ [-5 ; 1]

Bài 3: Tìm tập xác định của hàm số y =  -x2+2x+3

Trả lời:

Hàm số xác định ⬄ -x2 + 2x + 3 ≥ 0 ⬄ - 1 ≤ x ≤ 3

Vậy tập xác định của hàm số là D = [-1; 3]

Bài 4: Tìm m để bất phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m + 7 < 0 vô nghiệm

Trả lời:

+) TH1 : m = 0 => - 2x + 7 < 0 ⬄ x > 72 ( loại)

+) TH2 : m ≠ 0 

     Bất phương trình vô nghiệm ⬄ mx2 – 2(m + 1)x + m + 7 ≥ 0 với mọi x

     ⬄ m > 0 ; Δ’ ≤ 0

     ⬄ m > 0 ; 1 – 5m ≤ 0

     ⬄ m ≥ 15

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 – 2.(m -1).x + m2 – 2m = 0 có 2 nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Trả lời:

x2 – 2.(m -1).x + m2 – 2m = 0 ⬄ x2 – 2mx+ m2 + 2x – 2m = 0

⬄ ( x – m)2 + 2.( x- m) = 0 ⬄ ( x – m)( x – m + 2) = 0

⬄ x1 = m ; x2 = m – 2

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⬄ x1 ≠ x2 ; x1 . x2 < 0 

⬄ m.(m- 2) < 0 ⬄ 0 < m < 2 (*)

Với 0 < m < 2 => x1 > 0 ; x2 < 0

Vì nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn => |x2| > |x1| ⬄ |x2|2 > |x1|2 

⬄(x2 – x1)(x2 + x1) > 0⬄ ( m – 2 – m)( m – 2 + m) > 0 ⬄ 2m – 2 < 0 ⬄ m < 1 (**)

Kết hợp (*) và (**) => 0 < m < 1

Bài 2: Tìm m để biểu thức sau luôn nhận giá trị âm

g(x) = (m – 4)x2 + (2m – 8)x + m - 5

Trả lời:

+) m = 4 : g(x) = -1 < 0 ( đúng với mọi x )

+) m ≠ 4 : g(x) < 0 với mọi x ⬄ a < 0 và Δ’ < 0

⬄ m – 4 < 0 ; (m – 4)2 – (m – 4)(m – 5)  < 0

⬄ m < 4 ; m – 4 , 0 ⬄ m < 4

Kết hợp hai trường hợp ta được m ≤ 4

Bài 3: Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách như sau : 50 khách đầu tiên có giá 300 000 đồng/ người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ thêm một người thì giá vé sẽ giảm 5000 đồng cho toàn bộ hành khách.

1. a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu của công ty theo x.
2. b) Biết chi phí thực sự của chuyến đi là 15 080 000 đồng. Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu người để công ty không bị lỗ ?

Trả lời:

5000. a) Số lượng khách là 50 + x ( người ) => giá vé 1 người là 300 000 – 5000.x (đồng)

    Doanh thu của công ty là : 

    T(x) = (300 000 – 5000.x) . ( 50 + x) = -5000 x2 + 50 000 x + 15 000 000 (đồng)

1. b) Xét tam thức bậc hai f(x) = T(x) – 15 080 000 = -5000 x2 + 50 000 x – 80 000

    Δ > 0 ; f(x) có 2 nghiệm phân biệt là 2 và 8. Ta có bảng xét dấu 

    => f(x) ≥ 0 ⬄ 2 ≤ x ≤ 8 

     Vậy để công ty không bị lỗ thì số khách tối đa là 58 người.

Bài 4 : Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

( m + 4)x2 < 2.(mx – m + 3)

Trả lời:

+) m = - 4 ta có 0 < -8x + 14 : không nghiệm đúng với mọi x

+) m ≠ -4 

⬄ (m + 4)x2 – 2mx + 2m – 6 < 0 với mọi x 

⬄ a < 0 ; Δ’ < 0

⬄ m + 4 < 0 ; -m2 – 2m + 24 < 0

⬄ m < -4 ; m < -6 hoặc m > 4

⬄ m < -6

Vậy m < -6

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x4 – 5x2 + 4 < 0

Trả lời:

Ta có : x4 – 5x2 + 4 = 0 ⬄ (x2 -1)(x2 – 4) = 0 ⬄ x = ± 1 ; x = ± 2

Đặt f(x) = x4 – 5x2 + 4

Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của f(x) < 0 là (−2;−1) ∪ (1;2)

Bài 2: Tìm các giá trị của m để bất phương trình  x2 – 2x + 1 – m2 ≤ 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1 ; 2]

Trả lời:

+) Δ’ = m2 ≥ 0 => có 2 nghiệm x1 = 1 – m và x2 = 1 + m

+) m = 0 => x2 – 2x + 1 ≤ 0 ; x = 1 (không thỏa mãn)

+) m > 0 => x1 = 1 – m < x2 = 1 + m => tập nghiệm S = [1 - m ; 1 + m]

   Bpt có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1 ; 2] ⬄  [1 ; 2] ⸦ [1 - m ; 1 + m]

   ⬄ 1 – m ≤ 1 ; 2 ≤ 1 + m 

   ⬄ m ≥ 0 ; m ≥ 1 ⬄ m ≥ 1

 +) m < 0 => x1 = 1 – m > x2 = 1 + m => tập nghiệm S = [1 + m ; 1 - m]

   Bpt có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1 ; 2] ⬄  [1 ; 2] ⸦ [1 + m ; 1 - m]

   ⬄ 1 + m ≤ 1 ; 2 ≤ 1 - m 

   ⬄ m ≤ 0 ; m ≤ -1 ⬄ m ≤ -1

Vậy m ≥ 1 hoặc m ≤ -1

Bài 3: Một viên gạch hình vuông có cạnh thay đổi được đặt nội tiếp trong một hình vuông có cạnh bằng 20cm , tạo thành bốn tam giác xung quanh như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của x để diện tích viên gạch không vượt quá 208 cm2 .

Trả lời:

Diện tích viên gạch là : EF2 = (20-x)2 + x2 = 2x2 – 40x + 400

Ta có 2x2 – 40x + 400 ≤ 208 ⬄ 2x2 – 40x + 192 ≤ 0

Đặt f(x) = 2x2 – 40x + 192

Bảng xét dấu

=> f(x) ≤ 0 ⬄ 8 ≤ x ≤ 12 

Bài 4 : Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30 000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30 000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18 000. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Trả lời:

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x (nghìn đồng). 

Vì tăng giá thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc 

 => tăng x (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100x chiếc. 

=> Tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: 3000 −100x chiếc. 

Tổng số lợi nhuận một tháng sau khi tăng giá là:

f ( x) = (12+x)(3000 −100x) (nghìn đồng). 

Xét hàm số f ( x) = (12 + x)(3000 −100x) trên (0;+∞) .

f ( x) = −100x2 +1800x + 36000 = −100( x − 9)2 + 44100 ≤ 44100 

Dấu “=” xảy ra ⬄ x = 9 

Vậy cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là 9000 đồng hay giá mới là 39 000 đồng.