BÀI 16. TAM GIÁC CÂN, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG

(20 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (6 BÀI)

Bài 1: Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại sao?

Đáp án:
a) Xét ΔABC có: AB = AC = BC nên ΔABC đều
Xét ΔACM có: AC = CM nên ΔACM cân tại C
b) Trong ΔDFK có K + D + F= 1800
Ta có K = 1800 - F - D= 500

⇒ K = F

⇒ ΔDFK cân tại D .
c) Xét ΔIGH có: IG = GH nên ΔIGH cân tại G
Mà GIH = 60° nên ΔIGH đều
Xét ΔEGH có: EG = EH nên ΔEGH cân tại E

Bài 2: Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại sao?

Đáp án:
a) Trong ΔDEH có DE = DH ⇒ ΔDEH cân tại D.
Ta có: DE = DH; EF = HG

⇒ DE + EF = DH + HG

⇒ DF = DG

⇒ ΔDFG cân tại D .
b) Ta có MO = MP = PO ⇒ ΔMPO đều.

Lại có LO = MO ⇒ ΔLOM cân tạiO

MP = PN ⇒ Δ MPN cân tại P .
Vì ΔMOP đều nên POM = MPO = 60°
Mà MOP + MOL = 180° (hai góc kề bù); MPO + MPN = 180° (hai góc kề bù)

⇒ MOL = MPN
Xét ΔMOL và ΔMPN ta có:

MOL = MPN (cmt), OL = PN (gt), MO = MP (gt)
Suy ra ΔMOL = ΔMPN (c.g.c)
Do đó ML = MN ⇔ ΔLMN cân tại M.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC nếu biết:
a) A = 40°; b) B = 50°; c) C = 60°.
Đáp án:
a) Trong ΔABC có A + B + C = 180°

⇒ B + C = 180° - A  = 180° − 40° = 140°
Mà B = C (Vì ΔABC cân tại A )

⇒ B = C = 140O2 = 70°
b) Trong ΔABC có A + B + C = 180°
Mà ΔABC cân tại A ⇒ B = C = 50°

⇒ A = 180° − 2.B = 180° − 2.50° = 80° 
c) Trong ΔABC có A + B + C = 180° 

Mà ΔABC cân tại A  ⇒ B = C = 60°

⇒ A = 180° − 2.B = 180° − 2.60° = 60° 

Bài 4: Tìm số đo x trong hình vẽ sau:
Đáp án:

Trong ΔABC vuông tại A có AB = AC nên ΔABC vuông cân tại A ⇒ABC= ACB = 45°
Xét ΔADC có AC = DC nên ΔADC cân tại C

⇒ CDA = CAD = x

Ta lại có BCA là góc ngoài của ΔADC

⇒ BCA = CDA + CAB = x + x = 2x
Do đó 2x = 45° ⇒ x = 22,5°

Bài 5: Cho tam giác ABD cân tại A có A = 40°. Trên tia đối của tia  DB lấy điểm C sao cho DC = DA. Tính số đo góc ACB.
Đáp án:
Trong ΔABC có BAD + B + ADB = 180°

⇒ B + ADB = 180° − BAD = 140°
Mà B = ADB ( ΔABD cân tại A )

⇒ B = ADB = 14002 = 70°
Ta có ADB + ADC = 180° (hai góc kề bù)

⇒ ADC= 110°

ΔADC có DC = DA (gt) ⇒ ΔADC cân tại D

ACB = 1800- ADC2 = 1800- 11002 = 35°

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, B = 30°. Trên cạnh BC lấy M sao cho AM = BM. Chứng minh ΔAMC đều.

Đáp án:

Ta có AM = BM (gt) ⇒ ΔAMB cân tại M

⇒ BAM = B.
Vì ΔABC vuông tại A ⇒ B + C = 90°
Mà BAM + CAM = 90°; BAM = B (cmt)
Nên CAM = C

⇒ ΔAMC cân tạiM .
Ta lại có C= 90° − B= 60°.
Suy ra ΔAMC đều.

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Cho tam giác ABC. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, nó cắt cạnh AB tại E. Chứng minh tam giác EBD cân.
Đáp án:

Vì DE // BC nên DBC = EDB (vì hai góc so le trong)
Mà DBC = DBE (vì BD là tia phân giác của ABC )

⇒ EBD = EDB

⇒ ΔEDB cân tại E

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho AE = CF. Chứng minh  ΔABD, ΔADC, ΔAEF vuông cân.

Đáp án:

Xét ΔAEF vuông tại A có AE = AF ⇒ ΔAEF vuông cân tại A
Vì ΔABC vuông cân tại A ⇒ B = C = 45°
Ta lại có: AD là phân giác BAC ⇒ BAD = CAD =   BAC2 = 45°

Xét ΔABD có BAD= 180° −(B + BAD)  = 90°

⇒ AD ⊥ BC ⇒ ADC = 90°
Xét ΔADB vuông tại D có B = DAB = 45° ⇒ ΔADB vuông cân tại D
Xét ΔADC vuông tại D có C = DAC = 45° ⇒ ΔADC vuông cân tại D

Bài 3: Cho tam giác ABC đều. Trên cạnhAB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Chứng minh tam giác MNP đều.

Đáp án:
Ta có AB = BC = CA và AM = BN = CP

⇒ AB − AM = BC − BN = CA – CP

⇒ MB = NC = PA.
Xét ΔMBN và ΔNCP ta có:

B = C ( = 60°)  (vì ABCΔ đều), BM = CN (cmt), BN = CP (gt)
Suy ra ΔMBN = ΔNCP (c.g.c)

⇒ MN = NP (1) 

Chứng minh tương tự ta có ΔPAM = ΔNCP (c.g.c)

⇒ PM = NP (2)
Từ (1) và (2)⇒ PM = NP = MN
Suy ra ΔMNP đều.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A . Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D, tia phân giác góc C cắt cạnh AB tại E. Chứng minh tam giác ADE cân.

Đáp án:
Vì BD, CE lần lượt là tia phân giác của ABC, ACB
Nên B1 = B2 = ABC2, C1 = C2 = ACB2
Mà ABC = ACB (do tam giác ABC cân tại A )
Suy ra: B2= C2
Xét ΔABD và ΔACE ta có:
B2= C2, A là góc chung, AB = AC (ΔABC cân tại A )
Suy ra ΔABD = ΔACE (g.c.g)

⇒ AD = AE ⇒ ΔADE cân tại A.

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh tam giác ADE cân.

Đáp án:
Ta có: B1 + B2= 180°, C1 + C2 = 180° (kề bù)

B1 = C1 (ΔABC cân tại A )

Nên B2 = C2

Xét ΔABD và ΔACE ta có:

B2 = C2 (cmt)

AB = AC (ΔABC cân tại A )

DB = CE (gt)
Suy ra ΔABD = ΔACE (c.g.c)

⇒ AD = AE ⇒ ΔADE cân tại A .

3. VẬN DỤNG (6 BÀI)

Bài 1: Cho xOy = 120°, điểm A thuộc tia phân giác của xOy. Kẻ AB ⊥ Ox (B ∈  Ox) và AC ⊥ Oy (C ∈ Oy). Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao?

Đáp số:
Xét ΔABO và ΔACO ta có:

AOB = AOC =12 xOy = 600 (vì OA là tia phân giác của xOy )

ABO = ACO = 90°

OA là cạnh chung
Suy ra ΔABO = ΔACO (ch.gn)

⇒ AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A.
Vì ΔABO vuông tại B ⇒ AOB + BAO = 90°

⇒ BAO = 90° − 60° = 30°
Mà BAO = CAO (do ΔABO = ΔACO)

⇒ BAC = 60°
Xét ΔABC cân tại A có BAC = 60°⇒ ΔABC đều.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại  A (A < 90°). Kẻ BD vuông góc với AC tại D, kẻ CE vuông góc với AB tại E.

1. a) Chứng minh tam giác ADE cân.
   b) Chứng minh DE // BC .
   c) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh IB = IC.
   d) Chứng minh AI ⊥
   Đáp án:
   Xét Δ ABD và ΔACE ta có:

ADB = AEC = 90°
BAC là góc chung

AB = AC (ΔABC cân tại  A)
Suy ra ΔABD = ΔACE (ch.gn)

⇒ AD = AE ⇒ ΔADE cân tại A.
b) ΔABC cân tại A ⇒ ACB = 1800- BAC2 (1)

ΔADE cân tại A ⇒ ADE = 1800- BAC2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ADE = ACB, mà hai góc này vị trí đồng vị

⇒ DE // BC
c) Ta có ABC = ABI + IBC; ACB = ACI + ICB
Mà ABC = ACB (ΔABC cân tại A ); ABI = ACI (vì ΔABD = ΔACE)
Nên IBC = ICB ⇒ ΔIBC cân tại I

⇒ IB = IC
d) Ta có AB = AC (ΔABC cân tạiA) ⇒ A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC

IB = IC (cmt) ⇒ I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC
Do đó AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC

⇒ AI ⊥ BC.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm M trên cạnh BC (MB < MC). Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Đường thẳng qua M vuông góc với BC cắt AB tạiE . Đường thẳng qua N vuông góc BC cắt AC tại F.
a) Chứng minh: EM = FN
b) Qua E kẻ ED // AC (D ∈ BC ). Chứng minh MB = MD.
c) EF cắt BC tại O. Chứng minh OE = OF.
Đáp án:
a) Ta có EBM = ACB (ΔABC cân)
mà FCN = ACB (đối đỉnh) nên EBM = FCN.
Xét ΔBEM và ΔCFN ta có:

EBM = FCN (cmt)

BM = CN (gt)

EMB = FNC (= 90°)
Vậy ΔBEM = ΔCFN (g.c.g)

⇒ EM = FN
b) Ta có ED //AC ⇒ EDM = EBM (đồng vị)
mà EBM = ACB nên EDM = EBM

Suy ra ΔEBD cân tại E, do đó EB = ED.
Xét ΔBME vuông tại M và ΔDME vuông tại M, ta có

EB = ED (cmt);

EDM = EBM (cmt)
Suy ra ΔBME = ΔDME (ch.gn)

⇒ BM = MD.
c) Ta có EM // FN (cùng vuông góc với BC ) ⇒ MEO = NFO (so le trong).
Xét ΔMEO và ΔNFO, ta có:

MEO = NFO (cmt)

EM = FN (câu a)

EMO = FNO ( = 90°)
Suy ra ΔMEO = ΔNFO (g.c.g)

⇒ OE = OF.

Bài 4: Cho góc vuông xOy. Điểm M nằm trong góc đó. Vẽ điểm N và P sao cho tia Ox là đường trung trực của MN và Oy là đường trung trực của MP .
a) Chứng minh ON = OP.
b) Chứng minh ba điểm P, O, N thẳng hàng.
Đáp án:

1. a) Vì Ox là đường trung trực của MN nên OM = ON
   Vì Oy là đường trung trực của MP nên OM = OP
   Do đó ON = OP
   b) Gọi E ,F lần lượt là giao điểm của MN và Ox, MP và Oy .

ΔOME = ΔONE (c.g.c) nên O1 = O2

ΔOMF = ΔONP (c.g.c) nên O3 = O4
Ta có PON = O1 + O2 + O3 + O4 = 2(O2 + O3)  = 2.90° = 180°
Do đó ba điểm P, O, N thẳng hàng

Bài 5: Cho ΔABC vuông tại A. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AC tại H, cắt BC tại D. Nối A và D.
a) So sánh số đo góc DAB và DBA.
b) Chứng minh D là trung điểm của BC
Đáp án:
a) Từ giả thiết vì HD là đường trung trực của AC nên DC = DA ⇒ C = A1

Vì ΔABC vuông tại A nên A2 + A1 = 90°, B + C = 90°

 => A2 = B
b) Do A2 = B nên ΔADB cân tại D ⇒ DA = DB 

Mà DC = DA ( vì  HD là đường trung trực củaAC).

⇒ DC = DB
Suy ra D là trung điểm của BC

Bài 6: Cho ΔABC. Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC theo thứ tự ở M và N.
a) Biết B = 30°, C = 45°. Tính số đo góc BAC và MAN.
b) Chứng minh MAN = 2BAC − 180°.
Đáp án:
a) Ta có  M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB

⇒ MA = MB

⇒ ΔAMB cân tại M

⇒ B = A1 = 30°
Tương tự N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC

⇒NA = NC

⇒ ΔANC cân tại N

⇒ C = A  = 45°.
Trong ΔANC có ANC = 180° − (C + A2) = 180° − (45° + 45°) = 90° 

nên ANC = 90°.
Suy ra AN ⊥ BC.
Xét ΔABC có B = 30°, C = 45° ⇒ BAC  = 180° − (B + C) = 105°.
Vậy MAN = 105° − A1 – A2 = 105° − 30° − 45° = 30°
b) Ta có: MAN = BAC – (A1+ A2) = BAC – (B + C) = BAC – (180° – BAC) = 2BAC – 180°
Vậy MAN = 2BAC – 180°

4. VẬN DỤNG CAO (3 BÀI)

Bài 1: ΔABC có B – C = 30°. Đường trung trực của BC cắt  AC ở K.
a) Chứng minh KBC = KCB.
b) Tính số đo góc ABK
c) Biết AB = 3 cm, AC = 5 cm. Tính chu vi tam giác ABK .

Đáp án:

1. a) K thuộc đường trung trực của BC

⇒ KB = KC

⇒ ΔBKC cân tại K ⇒ KBC = C
b) Ta có: ABK = ABC – KBC = ABC – C= 30°
c) Ta có: AK + BK = AK + KC = AC = 5 cm.

⇒ AB + AK + BK = 8 cm
Vậy chu vi tam giác ABK là 8 cm.

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác cân MAB, NAB lần lượt tại M và N (M, N nằm khác phía so với AB). Chứng minh:
a) Điểm M thuộc đường trung trực của AB

1. b) MN là đường trung trực của AB .
   
   

Đáp án:

1. a) ΔAMB cân tại M nên AM = BM
   Suy ra điểm M thuộc đường trung trực của AB. (1)
   Ta lại có ΔANB cân tại N nên AN = BN
   Nên điểm N thuộc đường trung trực của AB. (2)
   Từ (1) và (2) suy ra: MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
   
   

Bài 3: Cho ΔABC, đường phân giác AD. 

Trên tia  AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh:
a) BD = DE;
b) AD là đường trung trực của BE.
Đáp án:

1. a) Xét ΔABD và ΔAED có:

AD là cạnh chung

BAD = EAD (Vì AD là tia phân giác của BAC)

AB = AE (gt)
Do đó ΔABD = ΔAED (c.g.c) nên BD = DE
b) Vì BD = DE (cmt) suy ra D nằm trên đường trung trực của BE (1).
Theo giả thiết: AB = AE suy ra A nằm trên đường trung trực của BE (2).
Từ (1) và (2), suy ra AD là đường trung trực của BE