BÀI 34: SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho G là trọng tâm tam giác MNP có trung tuyến MK. Tính GKMK?

Đáp án:

G là trọng tâm ∆MNP nên G là giao điểm của ba đường trung tuyến

MGMK=23 

Mà MG + GK = MK, do đó, GKMK=13

Bài 2: Cho hình vẽ:

So sánh BG và BE

Đáp án:

Ta có AD, BE và CF là ba đường trung tuyến của ∆ABC và chúng cắt nhau tại G

⇒ G là trọng tâm của ∆ABC

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, ta có:

BGBE=23⇒BG=23BE 

Bài 3: Cho hình vẽ sau:

So sánh AG và GD

Đáp án:

Ta có AD, BE và CF là ba đường trung tuyến của ∆ABC và chúng cắt nhau tại G

G là trọng tâm của ∆ABC

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, ta có:

AGAD=23AGAD=2⇒AG=2GD 

Bài 4: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Tính độ dài đoạn AG?

Đáp án:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên AG=23AM.

⇒AG=23.9=6cm

Bài 5: Cho tam giác ABC có BAC=90°, các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC. Chứng minh ID = IE

Đáp án:

Xét ΔABC ta có:

Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I

I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC

DI = IE (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

Bài 6: Cho tam giác MNP có M=90°, các tia phân giác của góc M và góc N cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh MN và MP. TÍnh IE biết ID = 4cm

Đáp án:

Xét ΔABC ta có:

Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I

I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC

⇒ DI = IE (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

Mà ID = 4cm

IE=4 cm 

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho ΔABC không cân, có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. So sánh AG và GM

Đáp án:

Do hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên ta có:

AG=23AM 

Mà AG + GM = AM nên GM=13AM

Vậy AG = 2GM 

Bài 2: Cho tam giác ABC, các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I

a, Biết rằng A=80°, tính số đo BIC

b, Biết rằng BIC=120°, tính số đo A

Đáp án:

a, Xét tam giác ABC, ta tính được B+ C=100°

Vì thế IBC+ ICB=50°

Vậy BIC=180°-50°=130°

a, Xét tam giác BIC, ta có được IBC+ ICB=60°

Vì thế ABC+ ACB=120°

Vậy BAC=180°-120°=60°

Bài 3: Cho tam giác ABC đều có G là trọng tâm. Chứng minh GA = GB = GC

Đáp án:

a, Các tia AG, BG, CG cắt BC, AC và AB lần lượt tại D, E, F 

D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC và AB

Mà BC = AC = AB (tam giác ABC đều)

⇒BD=DC=CE=EA=AF=FB 

Xét △AEB và △AFC, ta có: 

AB = AC

A chung

AE = AF

⇒ △AEB = △AFC (c.g.c)

⇒BE=CF (2 cạnh tương ứng)

Cmtt có △BEC = △ADC (c.g.c) ⇒BE=AD

⇒AD=BE=CF 

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC (gt)

⇒GA=23AD;GB=23BE;GC=23CF 

Mà AD=BE=CF (cmt)

⇒GA=GB=GC 

Bài 4: Cho tam giác ABC có A=90°, các tia phân giác của B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến AB và AC.

1. a) Biết ID = 3 cm. Tính IE?
2. b) Biết ID = x + 2, IE = 2x − 4. Tìm x

Đáp án:

a, Xét tam giác ABC có các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I

I là giao điểm ba đường phphaaniasc trong tam giác ABC

⇒ AI là đường phân giác của góc A và I cách đều ba cạnh của tam giác ABC (tính chất)

Vì I là giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác ABC nên ID = IE = 3cm

b, Ta có ID = IE (cmt)

⇒2x-4=x+2 

⇒x=6 

Bài 5: Tìm x biết CI và BI là phân giác của ACB và ABC

Đáp án:

Ta có ACB+ ACB = 2.ICB+2.IBC = 2.( ICB+IBC)=2.23°+37°=120°

BAC=180°-120°=60° (tổng ba góc trong một tam giác)

Lại có CI và BI lần lượt là hai tia phân giác của ACB và ABC

⇒I là giao điểm ba đường phân goác trong ΔABC

⇒AI là tia phân giác của BAC

⇒x=BAC2=60°2=30° 

Bài 6: Cho tam giác ABC ba đường phân giác của ba góc A,B,C cắt nhau tại I và AB<AC.

1. a) Chứng minh⁡CBI>ACI
2. b) So sánh IB và IC

Đáp án:

Ta có CBI=ABI=ABC2

tương tự CI là tia phân giác của góc C

Ta có ACI=BCI=ACB2

mà AB<ACgtACB<ABC (quan hệ góc cạnh trong một tam giác)

ACB2<ABC2 hay ACI<CBI (đpcm)

1. b) Ta có CBI>ACI (cmt) mà ACI=BCI (cmt) CBI>BCI

Xét ΔIBC có CBI>BCI⇒IC>IB(đpcm).

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho hai đoạn thoẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Đoạn thẳng AM, AN cắt BD lần lượt tại I và K. Chứng minh:

a, I là trọng tâm △ABC và K là trọng tâm △ADC

b, BI = IK = KD

Đáp án:

a, ∆ABC có hai đường trung tuyến BO và AM cắt nhau tại I

I là trọng tâm của ∆ABC

CMTT ta có K là trọng tâm của ∆ADC

b, I là trọng tâm của ∆ABC (cmt)

BI=23BO,DK=23DO 

Mà BO = OD (gt)

⇒BI=DK=23BO=13BD 

IK=13BD 

⇒BI=DK=IK 

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a, Tính ABD

b, Chứng minh △ABD=△BAC

c, Chứng minh AM=12BC

Đáp án:

a, Xét △AMC và△DMB có:

AM = MD (gt)

BM = MC (gt)

AMC=DMB 

△AMC=△DMB (c.g.c)

⇒AC=BD hai cạnh tương ứng 

Và MAC=MDB (2 góc tương ứng)

⇒ AC // BD

Mà AB AC

AB BD

ABD=90° 

b, Xét △ABD và△BAC có:

AB chung

ABD=BAC 

AC = BD (cmt)

△ABD=△BAC (c.g.c) (1)

c, Từ (1) AD=BC (2 cạnh tương ứng)

Mà AM=12AD

AM=12BC 

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho ABD=DAE. Chứng minh rằng ECB=DAE

Đáp án:

Vẽ AF BD, CG BD, CH AE

Ta có ABC cân tại A (gt)

AB=AC và ACB=ABC

Xét ABF vuông và △CAH vuông, ta có:

 AB=AC

ABF=CAH 

ABF = △CAH (ch – gn)

AF=CH (2 cạnh tương ứng)

Có BD là đường trung tuyến của ABC

AD=CD 

Xét △ADF vuông và △CDG vuông, ta có:

AD=CD 

ADF=CDG (2 góc đối đỉnh)

△ADF = △CDG (ch – gn)

⇒AF=CG (2 cạnh tương ứng) 

Mà AF=CH (cmt)

CG=CH 

Xét CEH vuông và △CEG vuông, ta có:

CH=CG (cmt)

EC chung

⇒ CEH = △CEG (ch – cgv)

CEH=CEG (hai góc tương ứng)

Lại có CEG=EBC+ECB (CEG là góc ngoài của BEC)

CEH=EAC+ECA (CEH là góc ngoài của AEC)

EBC+ECB =EAC+ECA (3)

Lại có EBA+EBC =ECB+ECA (vì ABC=ACB) (4)

Từ (3) và (4), ta có: EBC+ECB – (EBA+EBC) = (EAC+ECA)- (ECB+ECA)

ECB – EBA=EAC-ECB

Mà EAC=EBA (gt)

ECB = EBA

Mà DAE = ABE (gt)

ECB = DAE

Bài 4: Cho tam giác ABC có A=120o. Các đường phân giác AD và CE cắt nhau tại O. Đường phân giác góc ngoài của tam giác tại đỉnh B cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh rằng:

1. a) BO⊥BF
2. b) BDF=ADF
3. c) Các điểm D, E, F thẳng hàng.

Đáp án:

) AD và CE là hai tia phân giác cắt nhau tại O. Vậy BO là tia phân giác của ABC nên BO⊥BF.

1. b) A=120o nên A1=A2=60o

Tính được A3=A4=60o nên AF là phân giác của BAx. Vậy F là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài tại A và B của tam giác ABD BDF=FDA.

1. c) Tam giác ADC có AE là tia phân giác của góc ngoài; CE là tia phân giác trong

DE là tia phân giác của BDA (theo b).

Vậy DE và DF trùng nhau, hay D, E, F thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD=AC,I là trung điểm của AD vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại I, đường thẳng này cắt BD tại E.

1. a) Chứng minh EDA=EAD.
2. b) Gọi F là trung điểm của BC. Chứng minh các đường thẳng BA,CE, DF đồng quy.

Đáp án:

1. a) Xét △EID và EIA có

 EID = EIA =90(gt)

EI: cạnh chung

ID = IA (gt)

Do đó ΔEID=ΔEIA (hai cạnh góc vuông)

EDA=EAD (góc tương ứng)

1. b) ΔEID=ΔEIAcmtE1=E2 (1) (góc tương ứng)

Vi EI //BA(⊥CD)gt⇒E2=A1 (2) (2 góc so le trong)

Và E1=B1 (3) (đồng vị)

Từ (1) (2) và (3) B1=A1 hay ΔBEA cân tại E

⇒EB=EA mà EA=ED(cmt)⇒ED=EB hay E là trung điểm của BD nên CE là đường trung tuyến của △BDC lại có A là trung điểm của CD (gt)

Nên BA là đường trung tuyến thứ hai, F là trung điểm của BC(gt) nên DF là trung tuyến thứ ba. Do đó BA,CE,DF đồng quy.

Bài 6: Cho tam giác có các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I. Các đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng

Đáp án:

Vì I là giao điểm các phân giác của tam giác ABC

I thuộc thia phân giác BAC (1)

Hạ KD BC, KE AC, KF AB

Vì K thuộc tia phân giác của CBx

⇒KD=KF 

Mà K thuộc tia phân giác của BCy

⇒KD=KE 

⇒KE=KF 

K thuộc tia phân giác BAC (2)

Từ (1) và (2) I và K cùng thuộc tia phân giác BAC

Vì vậy 3 điểm A, I, K thẳng hàng

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Có hai con đường cắt nhua (tại vị trí A) và cùng cắt một con sống tại hai địa điểm khác nhau B và C. Hãy tìm một địa điểm để xây dựng một đài quan sát sao cho khoảng cách từ địa điểm đó đến hai con đường và đến sông bằng nhau. Có tất cả mấy địa điểm như vậy?

Đáp án:

Hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tạo thành tam giác ABC.

Vì khoảng cách từ điểm cần xây đến hai con đường và bờ sông là như nhau nên địa điểm để xây dựng đài quan sát thỏa mãn đề bài có thể là

- TH1: giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC.

- TH2 : giao điểm M của hai tia phân giác ngoài và một tia phân giác trong. Ta có ba điểm M như vậy.

Vậy có tất cả 4 điểm có thể xây dựng đài quan sát thỏa mãn điều kiện. 

Bài 2: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I. Gọi ba điểm M, N, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I đến các đường thẳng AB, AC, BC, biết IN = x + 5 và IM = 3x – 1. Tìm x

Đáp án:

Trong tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác nên IN = IM

x + 5 = 3x -1

2x = 6

x=3