LUYỆN TẬP CHUNG

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Chứng minh rằng ∆ABC có đường trung tuyến AM cũng là đường phân giác thì ABC là tam giác cân tại A

Đáp án:

Kẻ MH AB, MK AC

Vì AM là tian phân giác của BAC nên MH = MK (tính chất tia phân giác)

Xét ∆ MHB và ∆ MKC, ta có:

MHB = MKC=90°

MH = MK (cmt)

MB = MC (gt)

∆ MHB = ∆ MKC (ch – cgv)

 C = B (Hai góc tương ứng)

∆ ABC cân tại A

Bài 2: Cho góc xOy bằng 60°, điểm A nằm trong xOy. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC. Chứng minh rằng OB = OC.

Đáp án:

Vì Ox là đường trung trực của AB

⇒ OB = OA (t/chất đường trung trực) (1)

Vì Oy là đường trung trực của AC

⇒ OA = OC (t/chất đường trung trực) (2)

Tư (1) và (2) ⇒ OB = OC.

Bài 3: Cho ∆ABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm của BC

Đáp án:

Ta có các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại K nên AK là đường phân giác của A

Gọi H là trung điểm của BC

Lại có, trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

Vậy AK đi qua trung điểm H của BC.

Bài 4: Cho ∆ABC cân tại A. D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF

Đáp án:

Xét ∆ABC cân tại A và DB = DC (gt)

Đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác của BAC

Ta có DE AB (gt) DF AC (gt)

DE = DF (tính chất đường phân giác của góc)

Bài 5: Cho ∆ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm A, G, I thẳng hàng

Đáp án:

∆ABC cân tại A

Đường phân giác AI đồng thời là trung tuyến

AI đi qua trọng tâm G của ∆ABC

Vậy A, I, G thẳng hàng

Bài 6: Cho hình bên. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.

Đáp án:

Vì AC = AD (gt) nên A thuộc đường trung trực của CD.

Vì BC = BD (gt) nên B thuộc đường trung trực của CD.

Vì A ≠ B nên AB là đường trung trực của CD.

Vậy AB ⊥ CD.

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC. Chứng minh rằng AD = AE

Đáp án:

Vì I là giao điểm các đường phân giác trong của B và C nên AI là tia phân giác của A.

Suy ra: ID = IE (tính chất tia phân giác) (1)

Vì ΔADI vuông tại D có AI là tia phân giác góc A 

DAI = CAI=12A=45°

ΔADI vuông cân tại A

⇒ ID=DA (2)

Vì ΔAEI vuông tại E có CAI=12A=45°

ΔAEI vuông cân tại E

⇒ IE=AE (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ AD=AE

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng EF = BE + CF.

Đáp án:

Ta có điểm I cách đều ba cạnh của ∆ ABC và nằm trong ∆ ABC

I là giao điểm của ba đường phân giác của ∆ ABC

BI, CI lần lượt là tia phân giác của B và góc C. 

Do EF // BC nên B1 = BIE. (so le trong).

Lại có: B1= B2  ( vì BI là tia phân giác của góc B )

Suy ra: B2 = BIE

∆ BEI cân tại E

BE=EI 

CMTT ta có IF = CF

EF = EI + IF = BE + CF.

Bài 3: Hai đường phân giác AA1 và BB1 của tam giác ABC cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc ACM, BCM nếu AMB = 136°

Đáp án:

Ta có: A + B +C = 180° ( tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra: C = 180º – (A + B )

Do ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm nên CM là tia phân giác của góc C.

12(A + B ) = MAB+  MBA = 180°  −  AMB = 180°  − 136°  = 44° 

Suy ra (A + B )= 2.44°  = 88° 

C = 180° − 88° = 92° 

Vậy ACM = BCM= 92° : 2° = 46° 

Bài 4: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Đáp án:

Xét ABC vuông cân tại A AB=AC

A thuộc đường trung trực của BC (1)

Xét DBC cân tại D DB=DC

D thuộc đường trung trực của BC (2)

Xét EBC cân tại E EB=EC

E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) A, D, E thẳng hàng

Bài 5: Cho ∆ABC có A=70°, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính BIC

Đáp án:

Trong ∆ABC, ta có A+ B+C=180° (tổng 3 góc trong một tam giác)

B+C=180°- A=180°-70°=110°

Ta có: B1=12B (BD là tia phân giác) 

C1=12C (CE là tia phân giác)

Xét ∆ BIC, ta có

BIC+B1+C1=180° (tổng 3 góc trong tam giác) 

BIC= 180°-B1+C1= 180°-12B+C=180°-12.110°=125°

Bài 6: Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng ΔBDE = ΔCDE.

Đáp án:

Vì D thuộc đường trung trực của BC 

DB = DC (tính chất đường trung trực)

Vì E thuộc đường trung trực của BC 

EB = EC (tính chất đường trung trực)

Xét ΔBDE và ΔCDE, ta có:

DB = DC (cmt)

DE cạnh chung

EB = EC (cmt)

Suy ra: ΔBDE = ΔCDE (c.c.c).

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Bài 1: Đường cao của tam giác đều cạnh 4 có bình phương độ dài đường cao là

Đáp án:

Xét tam giác ABC đều cạnh AB = AC = BC = 4

Ta có AM là đường trung tuyến

AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay AM⊥BC tại M

Ta có: MB=MC=BC2=42=2

Xét tam giác AMC vuông tại M, ta có:

AM2=AC2-MC2=42-22=12 

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh 4 là 12

Bài 2: Cho tam giác ABC có  C >B (B, C là các góc nhọn). Vẽ phân giác AD. So sánh BD và CD

Đáp án:

Ta có có  C >B AB>AC

Trên AB lấy điểm E sao cho AE=AC

Xét △ACD và△AED có:

AC = AE (gt)

CAD =DAB (tính chất tia phân giác)

AD chung

△ACD=△AED (c.g.c)

DE=CD (2 cạnh tương ứng) (1)

Và AED =ACD(2 góc tương ứng)

Mà ACD là góc nhọn AED là góc nhọn

BED=180°-AED sẽ là góc tù

BED>EBD 

BD>DE (2)

Từ (1) và (2) DC<BD

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của BD lấy I sao cho BI = AC. Trên tia đối của CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AI = AK

Đáp án:

Xét ABD có: A1+B1=90°(2 góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông)

Xét △AEC có: A1+C1=90°(2 góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông)

B1=C1 (1)

Lại có B1+B2=180°, C1+C2=180° (2) (hia góc kề bù)

Từ (1), (2) B2=C2

Xét △ABI và KCA, có

BA = CK (gt)

B2=C2 (cmt)

BI = AC (gt)

ABI = KCA (c.g.c)

⇒AI=AK (2 cạnh tương ứng) 

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Lấy điểm D sao cho AB là trung trực của HD. Lấy điểm E sao cho AC là trung trực của HE. Gọi M là giao điểm của DE với AB, N là giao điểm của DE với AC. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của MHN

Đáp án:

Vì DHE có AB, AC là hai đường trung trực của tam giác cắt nhau tại A nên A cách đều ba đỉnh của tam giác

AD = AH = AE.

△ ADE có AD = AE

△ ADE cân tại A

ADE=AED (1)

Xét △ADM và AHM, có

AM là cạnh chung

AD=AH (cmt)

DM = HM (M thuộc trung trực của DH)

△ADM = AHM (c.c.c)

ADM=AHM (2 góc tương ứng) (2)

Xét ANH và △ANE, có

AN là cạnh chung

AH=AE (cmt)

NH = NE (N thuộc trung trực của EH)

ANH = △ANE (c.c.c)

AHN=AEN (2 góc tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3)

AHN=AHM 

HA là phân giác của MHN

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia phân giác AI cắt BC tại M. Khi đó tam giác MED là tam giác gì?

Đáp án:

Xét △ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại I

⇒AI là đường cao của △ABC

Mà AI cắt BC tại M

⇒AM⊥BC 

Vì △ABC cân tại A (gt) 

⇒AM là đường cao cũng là đường trung tuyến của △ABC

⇒BM=MC (tính chất đường trung tuyến)

Lại có CE ⊥AB, BD ⊥AC

BEC=BDC=90° 

Xét △BEC có M là trung điểm của BC

⇒EM là trung tuyến của △BEC

⇒EM=BC2 (1)

Xét △BDC có M là trung điểm của BC

⇒DM là trung tuyến của △BDC

⇒DM=BC2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒EM=DM

△EMD cân tại M

Bài 6. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB. Tia AC cắt BD ở E. Tính AEB

Đáp án:

Ta có MxAB 

AMx=90° 

Xét AMC, ta có:

AMC=90° 

MA = MC (gt)

MAC=MCA=45°  

DCE=MCA=45° (đối đỉnh)

Xét BMD, ta có:

BMD=90° 

MB = MD (gt)

MBD=MDB=45°  

Xét CDE, ta có:

CDE=DCE=45°  

CDE+DCE=90°  

DEC=90° 

Lại có DEC+AEB=180°  

AEB=180°- DEC = 180°-90°=90° 

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MG.
a) Chứng minh GA=GE.
b) Chứng minh BG//CE.
c) Chứng minh BE=2GN.
d) Gọi I là trung điểm của BE,AI cắt BG tại F.
Chứng minh AF=2FI.

Đáp án:

1. a) Hai trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm △ABC

Ta có GA=2GM

Lại có ME=MG(gt)⇒GE=2GM

Từ (1) và (2)⇒GA=GE.

1. b) Xét △BGM và △CGE có MB=MC(gt)

M1=M2 (đối đỉnh) 

MG=ME (gt). Do đó △BGM=ΔCGE (c.g.c)

MBG=MCE (góc tương ứng)

⇒BG//CE (cặp góc so le trong bằng nhau)

1. c) Chứng minh tương tự có △CMG=△BEM (c.g.c)

⇒BE=CG. Do G là trọng tâm △ABC nên CG=2GN

Mà BE=CG(cmt)⇒CE=2GN.

1. d) Xét △ABE có I là trung điểm của BE(gt) nên AI là đường trung tuyến của △ABE lại có GA=GE(cmt)⇒BG là đường trung tuyến thứ hai mà AI cắt BG tại F nên F là trọng tâm của △ABE⇒AF=2FI.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM(MBC).

1. a) Chứng minh △ABM=△ACM.
2. b) Từ M kẻ MEAB,MFAC(EAB,FAC). Chứng minh AEF cân.
3. c) Chứng minh AM⊥EF.
4. d) Trên tia đối của tia MF lấy điểm I sao cho MI=MF.

Gọi P là giao điểm của AM và EF. Q là giao điểm của EI và BC. Chứng minh rằng EM,IP,FQ đồng quy.

Đáp án:

Xét △ABM và △ACM có 

AM là cạnh chung

AB = AC (gt)

MB = MC (gt)

△ABM=△ACM (c.c.c) A1=A2 (góc tương ứng)

Xét △AEM và △AFM có

 AEM=AFM=90(gt)

AM: cạnh chung

A1=A2 (cmt). 

△AEM=△AFM (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒AE=AF (cạnh tương ứng) hay △AEF cân tại A.

1. b) Có thể chứng minh AE=AF bằng cách xét hiệu AB⋅BE=AC-CF

Khi có hai tam giác vuông BEM và CFM bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn.

1. c) Ta có △AEF cân tại A⇒AEF=AFE=180-A2

Tương tự △ABC cân tại A⇒B=C=180-A2

(1) (2) AEF=B=180-A2

EF//BC (cặp góc đồng vị bằng nhau)

Lại có △ABM=△ACM(cmt)⇒AMB=AMC (góc tương ứng)

Mà AMB+AMC=180 (kề bù )⇒AMB=AMC=90

Hay AM⊥BC mà BC//EF(cmt)⇒EF⊥AM

1. d) Ta có △AEM=ΔAFM(cmt)⇒EM=FM (cạnh tương ứng)

Lại có FM=IM(gt)⇒EM=IM

Xét △BEM và △CFM có 

BEM=CFM=90(gt) 

B=C (gt) 

BM=CM (gt)  

Do đó ΔBEM=ΔCFM (cạnh huyền - góc nhọn)

M1=M3 (góc tương ứng) lại có M3=M2( đ )⇒M1=M2

Xét △MQE và △MQI có 

QM là cạnh chung

M1=M2 (cmt)

ME=IM (cmt)  

Do đó △MQE=ΔMQI (c.g.c)

⇒QE=QI (cạnh tương ứng) hay Q là trung điểm của EI vậ FQ là đường trung tuyến của ΔEIF lại có EM là trung tuyến thứ hai ( M là trung điểm của FI(gt))

Dễ thấy △APE=△APF (c.g.c) ⇒PE=PF

Hay P là trung điểm của EF.

Vậy IP là đường trung tuyến thứ ba.

Do đó ba đường trung tuyến FQ, EM và IP đồng quy.