CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

(24 câu)

1. NHẬN BIẾT (7 CÂU)

Câu 1: Cho hàm số  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên:

Hãy xác định khoảng biến thiên và cực trị của hàm số.

Trả lời:

Từ bảng biến thiên ta có:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
• Hàm số nghịch biến trên khoảng .
• Hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại .

Câu 2: Cho hàm số  xác định, liên tục trên đoạn  và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Tìm các cực trị và giá trị cực trị của hàm số.

Trả lời:

Ta có:

• Hàm số đạt cực đại tại và giá trị cực đại là .
• Hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu là .

Câu 3: Cho hàm số . Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng nào?

Trả lời:

Tập xác định: .

Ta có: .

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

Câu 4: Cho hàm số  có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Xét tính đơn điệu của hàm số và tìm các giá trị cực trị của hàm số.

Trả lời:

Từ bảng biến thiên, ta có:

• Hàm số đồng biến trên khoảng .
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng và .
• Hàm số đạt cực đại tại điểm và giá trị cực đại bằng 5.
• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm và giá trị cực tiểu bằng 4.

Câu 5: Cho hàm số  có đồ thị như hình vẽ. Xét tính đơn điệu của hàm số đã cho.

Trả lời:

Từ đồ thị hàm số, ta có:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

- Hàm số nghịch biến trên khoảng .

Câu 6: Cho hàm số  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị. Tìm các cực trị và giá trị cực trị đó.

Trả lời:

Từ đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.

• Hàm số đạt cực đại tại điểm , giá trị cực đại bằng .
• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm , giá trị cực tiểu bằng và điểm , giá trị cực tiểu bằng .

Câu 7: Cho hàm số  có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Xét tính đơn điệu của hàm số.

Trả lời:

Từ bảng xét dấu, ta có:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

2. THÔNG HIỂU (8 CÂU)

Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số .

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

               hoặc .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và ; hàm số nghịch biến trên khoảng  và .

Câu 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: .

Trả lời:

Tập xác định:

Ta có:

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

       hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Câu 3: Cho hàm số . Xác định các điểm cực trị của hàm số.

Trả lời:

• Tập xác định: .
• Ta có: ;
• Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại  và giá trị cực tiểu bằng .

        Hàm số đạt cực đại tại  và giá trị cực đại bằng .

Câu 4: Cho hàm số . Xét tính đơn diệu của hàm số.

Trả lời:

Tập xác định: .

Ta có:

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

       Hàm số nghịch biến trên khoảng

Câu 5: Cho hàm số  có đồ thị hàm số  như hình bên dưới:

Xét tính đơn điệu của hàm số.

Trả lời:

Từ đồ thị hàm số ta có:

• với  và . Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  và .
• với  và . Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Câu 6: Cho hàm số  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Đồ thị của hàm số  có nghịch biến trên khoảng  không?

Trả lời:  

Ta có: .

Đồ thị :  được suy ra từ độ thị của hàm số  như sau:

Từ đồ thị hàm số, ta kết luận hàm số  nghịch biến trên khoảng .

Câu 7: Biết  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số . Tính giá trị của hàm số tại .

Trả lời:

Ta có: .

Do  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên:

Vậy hàm số .

Suy ra .

Câu 8: Cho hàm số  liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số  đồng biến trên khoảng nào?

Trả lời:

Ta có: .

Mặt khác hàm số  là hàm số chẵn trên tập . Nên đồ thị của hàm số  nhận trục  làm trục đối xứng.

Do đó, ta có hình ảnh của đồ thị hàm số  là:

Từ đó, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  và  và .

3. VẬN DỤNG (7 câu)

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  sao cho đồ thị của hàm số  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

Trả lời:

Tập xác định: .

Ta có:

Để hàm số có 3 điểm cực trị là: .

Giả sử .

Khi đó:  nên tam giác  luôn cân tại .

Do đó  vuông tại  khi

Vậy .

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  sao cho hàm số  đồng biến trên khoảng .

Trả lời:

Đặt

Khi đó, hàm số ban đầu trở thành  với .

Ta có: .

Hàm số đồng biến trên  khi .

Vậy  hoặc .

Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số  để hàm số  đồng biến trên khoảng .

Trả lời:

Tập xác định: .

Ta có: .

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .

.

.

Ta có: .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: .

Vậy .

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  để hàm số  không có cực đại.

Trả lời:

Tập xác định : .

Ta có: .

+ Xét với : Khi đó  hàm số không có cực đại. Vậy  thỏa mãn.

+ Xét : Khi đó hàm số là hàm số bậc 4 trùng phương với hệ số .

Để hàm số không có cực đại thì  chỉ có một nghiệm duy nhất .

Hay  vô nghiệm hoặc có nghiệm kép .

 vô nghiệm hoặc có nghiệm .

+ Xét : hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số  luôn có cực đại.

Kết luận: để hàm số không có cực đại thì .

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  để hàm số  đồng biến trên .

Trả lời:

Ta có: .

Để hàm số đồng biến

.

Mà  khi .

Do đó .

Vậy .

Câu 6: Cho hàm số . Hàm số  có đồ thị như hình bên. Hàm số  đồng biến trên khoảng nào?

Trả lời:

Xét hàm số .

Hàm số trên xác định với mọi . Ta có: .

Hàm số đồng biến .

Từ đồ thị của hàm số  ta có:

Vậy hàm số  đồng biến trên các khoảng  và .

Câu 7: Tìm  để phương trình sau vô nghiệm:

Trả lời:

Điều kiện xác định:

Ta có:

Để phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi:

 hoặc

Vậy  hoặc .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  để đồ thị của hàm số  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

Trả lời:

Tập xác định: .

Ta có: .

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi .

Ta có ba điểm cực trị là .

Gọi  là trung điểm  thì diện tích tam giác  là:

.

Mà  nên .

Vậy .

Câu 2: Một vật chuyển động theo quy luật  với  (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Vận tốc của vật được tính bởi: .

Ta có: .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 36m/s.